已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A,B两点,且|AF|+|BF|=22,|AB|最小值为2.(
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已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A,B两点,且|AF|+|BF|=22,|AB|最小值为2.(
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A,B两点,且
|AF|+|BF|=2
2
,|AB|最小值为2.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若圆:
x
2
+
y
2
=
2
3
的切线l与椭圆E相交于P,Q两点,当P,Q两点横坐标不相等时,问:OP与OQ是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
答案
(Ⅰ)设A(x
0
,y
0
)B(-x
0
,y
0
)F(c,0)(c
2
=a
2
+b)
则
|AF|+|BF|=2a=2
2
∴a=
2
-----------------------------------------(1分)
|AB|=
(2
x
0
)
2
+
(2
y
0
)
2
=2
x
0
2
+(1-
x
0
2
a
2
)
b
2
=2
b
2
+
c
2
x
0
2
a
2
∵0≤x
0
2
≤a
2
∴|AB|
min
=2b=2∴b=1所以有椭圆E的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
-----------------(5分)
(Ⅱ)由题设条件可知直线的斜率存在,设直线L的方程为y=kx+m
L与圆
x
2
+
y
2
=
2
3
相切,
∴
|m|
1+
k
2
=
6
3
∴
m
2
=
2
3
(
k
2
+1)
-----------------(7分)
L的方程为y=kx+m代入
x
2
2
+
y
2
=1
中得:(1+2k
2
)x
2
+4kmx+2m
2
-2=0,
△=8(2k
2
+1-m
2
)>0令P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
x
1
+
x
2
=
-4km
1+2
k
2
①
x
1
x
2
=
2
m
2
-2
1+2
k
2
②
y
1
y
2
=
k
2
x
1
x
2
+km(
x
1
+
x
2
)+
m
2
=
m
2
-2
k
2
1+2
k
2
③--------------------(10分)
OP
•
OQ
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
2
m
2
-2
1+2
k
2
+
m
2
-2
k
2
1+2
k
2
=
3
m
2
-2
k
2
-2
1+2
k
2
=0
∴
OP
⊥
OQ
------------------------------------------------------(12分)
举一反三
过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线
x
2
4
-
y
2
=1
的弦所在直线方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
直线y=kx+2与抛物线y
2
=8x有且仅有一个公共点,则k的取值为______.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆
x
2
4
+
y
2
a
2
=1
与双曲线
x
2
a
-
y
2
2
=1
的焦点相同,则椭圆的离心率e=______.
题型:不详
难度:
|
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已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x
2
=2py(p>0)相交于B、C两点.当直线l的斜率是
1
2
时,
AC
=4
AB
.求抛物线G的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
3
2
,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)若直线l不过点M,求证:直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.
题型:不详
难度:
|
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