已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求m的取值范围;(
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求m的取值范围;(
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
3
2
,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)若直线l不过点M,求证:直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.
答案
(Ⅰ)设椭圆的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,
∵椭圆的离心率为
e=
3
2
,
∴a
2
=4b
2
,
又∵M(4,1),
∴
16
a
2
+
1
b
2
=1
,解得b
2
=5,a
2
=20,故椭圆方程为
x
2
20
+
y
2
5
=1
.…(4分)
(Ⅱ)将y=x+m代入
x
2
20
+
y
2
5
=1
并整理得
5x
2
+8mx+4m
2
-20=0,
∵直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B
∴△=(8m)
2
-20(4m
2
-20)>0,解得-5<m<5.…(7分)
(Ⅲ)设直线MA,MB的斜率分别为k
1
和k
2
,只要证明k
1
+k
2
=0.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
根据(Ⅱ)中的方程,利用根与系数的关系得:
x
1
+
x
2
=-
8m
5
,
x
1
x
2
=
4
m
2
-20
5
.
k
1
+
k
2
=
y
1
-1
x
1
-4
+
y
2
-1
x
2
-4
=
(
y
1
-1)(
x
2
-4)+(
y
2
-1)(
x
1
-4)
(
x
1
-4)(
x
2
-4)
上式的分子=(x
1
+m-1)(x
2
-4)+(x
2
+m-1)(x
1
-4)
=2x
1
x
2
+(m-5)(x
1
+x
2
)-8(m-1)
=
2(4
m
2
-20)
5
-
8m(m-5)
5
-8(m-1)=0
所以k
1
+k
2
=0,得直线MA,MB的倾斜角互补
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.…(12分)
举一反三
与椭圆4x
2
+9y
2
=36有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为______.
题型:不详
难度:
|
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双曲线x
2
-
y
2
4
=1截直线y=x+1所得弦长是______.
题型:不详
难度:
|
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中心在原点,一焦点为F
1
(0,5
2
)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点横坐标是
1
2
,求此椭圆的方程.
题型:不详
难度:
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P是椭圆
x
2
27
+
y
2
16
=1
上的点,则P到直线l:4x+3y-25=0的距离的最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的两个焦点分别是
F
1
(0,-2
2
),
F
2
(0,2
2
)
,离心率
e=
2
2
3
.
(1)求椭圆的方程;
(2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,且线段MN中点的横坐标为
-
1
2
,求直线l的倾斜角的范围.
题型:不详
难度:
|
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