设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,A为椭圆上一点,弦AB,AC分别过焦点F1,F2.(I)若∠AF1F2=α,∠AF2F1=β,试用α,β

设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,A为椭圆上一点,弦AB,AC分别过焦点F1,F2.(I)若∠AF1F2=α,∠AF2F1=β,试用α,β

题型:不详难度:来源:
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为e,A为椭圆上一点,弦AB,AC分别过焦点F1,F2
(I)若∠AF1F2=α,∠AF2F1=β,试用α,β表示椭圆的离心率e;
(II)设


AF1
1


F1B


AF2
2


F2C
,当A在椭圆上运动时,求证:λ12为定值.
答案

魔方格
(I)设F1(-c,0),F2(c,0).在△AF1F2中,由正弦定理得
|AF1|
sinβ
=
|AF1|
sinα
=
|F1F2|
sin(α+β)

即|AF1|=
sinβ|F1F2|
sin(α+β)
,|AF2|=
sinα|F1F2|
sin(α+β)

所以2a=|AF1|+|AF2|=
sinβ|F1F2|
sin(α+β)
+
sinα|F1F2|
sin(α+β)

=2c(
sinβ
sin(α+β)
+
sinα
sin(α+β)
)=2c•
sinα+sinβ
sin(α+β)

得e=
sin(α+β)
sinα+sinβ

(II)设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2).
①当y0=0时,λ12=2
a2 +c2
a2-c2
=
2(1+e2)
1-e2
;当AB或AC与x轴垂直时,λ12=
2(1+e2)
1-e2

②当AB,AC都不与x轴垂直且y0≠0时,AC的方程为y=
y0
x0-c
(x-c),





y=
y0
x0-c
(x-c)
x2
a2
+
y2
b2
=1

消x得[b2(x0-c)2+a2y02]y2+2b2y0(x0-c)y+c2b2y02-a2b2y02=0.
由韦达定理得  y2y0=
c2b2y02-a2b2y02
b2(x0-c)2+a2y02

所以y2=
c2b2y0-a2 b2y0
b2(x0-c)2+a2y02

所以 λ2=
|AF2|
|F2C|
=-
y0
y2
=-
b2(x0-c)2+a2y02
c2b2-a2b2

同理可得λ1=
|AF1|
|F1C|
=-
y0
y1
=-(
b2(x0-c)2+a2y02
c2b2-a2b2
+
b2(x0+c)2+a2y02
c2b2-a2b2
]

故λ12=
2(1+e2)
1-e2
举一反三
已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的左右焦点分别是F1,F2,过右焦点F2且斜率为k的直线与椭圆交于A,B两点.
(1)若k=1,求|AB|的长度、△ABF1的周长;
(2)若


AF2
=2


F2B
,求k的值.
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如图,点A(-a,0),B(
2
3
4
3
)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的两点,直线AB与y轴交于点C(0,1).
(1)求椭圆的方程;
(2)过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P,Q,求PQ的取值范围.魔方格
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若椭圆
x2
m
+
y 2
n
=1(m>n>0)
和双曲线
x2
a
-
y 2
b
=1(a>0,b>0)
有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则|PF1|•|PF2|等于(  )
A.m-aB.
1
2
(m-a)
C.m2-a2D.


m
-


a
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已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1),B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP:PA=1:2,当点B在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程,并指出这个轨迹为那种曲线.
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k是任意实数,则方程kx2+y2=1表示的曲线不可能是(  )
A.椭圆B.双曲线C.拋物线D.圆
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