已知过点P(0,-1)的直线l与抛物线x2=4y相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,l1、l2分别是抛物线x2=4y在A、B两点处的切线,M、N分别是
题型:广州一模难度:来源:
已知过点P(0,-1)的直线l与抛物线x2=4y相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,l1、l2分别是抛物线x2=4y在A、B两点处的切线,M、N分别是l1、l2与直线y=-1的交点. (1)求直线l的斜率的取值范围; (2)试比较|PM|与|PN|的大小,并说明理由. |
答案
(1)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-1. 由方程,消去y得x2-4kx+4=0. ① ∵直线l与抛物线x2=4y相交于A,B两点, ∴△=16k2-16>0,解得k>1或k<-1. 故直线l斜率的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞). (2)可以断定|PM|=|PN|. 解法1:∵x1,x2是方程①的两实根, ∴,∴x1≠0,x2≠0. ∵y=x2,∴y′=x. ∵y1=,∴切线l1的方程为y=x1(x-x1)+x12. 令y=-1,得点M的坐标为(,-1). ∴|PM|=||. 同理,可得|PN|=||. ∵=|•|=||=||=1(x1≠x2). 故|PM|=|PN|. 解法2:∵x1,x2是方程①的两实根, ∴,∴x1≠0,x2≠0. ∵y=x2,∴y′=x. ∵y1=, ∴切线l1的方程为y=x1(x-x1)+x12. 令y=-1,得点M的坐标为(,-1). 同理可得点N的坐标为(,-1). ∵+==0. ∴点P是线段MN的中点. 故|PM|=|PN|. |
举一反三
已知双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x,则抛物线y2=4ax上一点M(2,y0)到该抛物线焦点F的距离是______. |
椭圆+=1(a>0,b>0)的离心率为,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k的值为( ) |
已知抛物线C:y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为,且C上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,并且x1x2=-,那么m=______. |
已知抛物线C1的方程为y=x2,抛物线C2的方程为y=2-x2,C1和C2交于A,B两点,D是曲线段AOB段上异于A,B的任意一点,直线AD交C2于点E,G为△BDE的重心,过G作C1的两条切线,切点分别为M,N,求线段MN的长度的取值范围. |
θ是任意实数,则方程x2+y2sinθ=4表示的曲线不可能是______. |
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