已知抛物线C:y2=4x,直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两点(点A在第一象限)(1)若|AB|=10,求直线l的方程;(2)过点A的抛物线的切线与
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已知抛物线C:y2=4x,直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两点(点A在第一象限) (1)若|AB|=10,求直线l的方程; (2)过点A的抛物线的切线与直线x=-1交于点E,求证:EF⊥AB. |
答案
设A(x1,y1)B(x2,y2), (1)若l⊥x轴,则|AB|=4不适合 故设l:y=k(x-1),代入抛物线方程得k2x2-2(k2+2)x+k2 △=16k2+16>0∴x1+x2=. 由|AB|=x1+x2+2=+2=10,得k2= 直线l的方程为y=±(x-1) (2)当y>0时y′=•切线的方程:y-y1=(x-x1)得 E(-1,y1-),=(2,-y1),=( x1-1,y1) •=2(x1-1)+(-y1)y1=2(x1-1)+2(1+x1)-4x1=0 ∴EF⊥FA,即EF⊥AB. |
举一反三
已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的长轴长为2,离心率为e1=,椭圆C2与C1有共同的短轴. (Ⅰ)求椭圆C1的方程; (Ⅱ)若C2与直线l:x-y+2=0有两个不同的交点,求椭圆的离心率e2的取值范围. |
(理科)过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=______. |
已知一个圆的圆心为坐标原点O,半径为2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP′,P′为垂足. (Ⅰ)求线段PP′中点M的轨迹方程; (Ⅱ)已知直线x-y-2=0与M的轨迹相交于A、B两点,求△OAB的面积. |
(理)实数x,y满足x2-y2=4,若+m>0恒成立,则实数m的取值范围为______. |
过点A(-4,-3),且与双曲线-=1有且仅有一个公共点的直线共有______条. |
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