如图,直线l与抛物线y2=x交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,且y1y2=-1.(1)求证:M点的坐标为(1,0);(2)求证:OA
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如图,直线l与抛物线y2=x交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,且y1y2=-1.(1)求证:M点的坐标为(1,0);(2)求证:OA
题型:不详
难度:
来源:
如图,直线l与抛物线y
2
=x交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,与x轴相交于点M,且y
1
y
2
=-1.
(1)求证:M点的坐标为(1,0);
(2)求证:OA⊥OB;
(3)求△AOB的面积的最小值.
答案
(1)设M点的坐标为(x
0
,0),直线l方程为x=my+x
0
,
代入y
2
=x得y
2
-my-x
0
=0①,
y
1
,y
2
是此方程的两根,
∴x
0
=-y
1
y
2
=1,即M点的坐标为(1,0).
(2)∵y
1
y
2
=-1,
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=y
1
2
y
2
2
+y
1
y
2
=y
1
y
2
(y
1
y
2
+1)=0
∴OA⊥OB.
(3)由方程①,y
1
+y
2
=m,y
1
y
2
=-1,且|OM|=x
0
=1,
于是
S
△AOB
=
1
2
|OM||
y
1
-
y
2
|
=
1
2
(
y
1
+
y
2
)
2
-4
y
1
y
2
=
1
2
m
2
+4
≥1,
∴当m=0时,△AOB的面积取最小值1.
举一反三
过点A(0,2),且与抛物线C:y
2
=6x只有一个公共点的直线l有( )条.
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=4x,直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两点(点A在第一象限)
(1)若|AB|=10,求直线l的方程;
(2)过点A的抛物线的切线与直线x=-1交于点E,求证:EF⊥AB.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的长轴长为
2
2
,离心率为
e
1
=
2
2
,椭圆C
2
与C
1
有共同的短轴.
(Ⅰ)求椭圆C
1
的方程;
(Ⅱ)若C
2
与直线l:x-y+2=0有两个不同的交点,求椭圆的离心率e
2
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(理科)过抛物线x
2
=4y的焦点作直线l交抛物线于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1
x
2
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知一个圆的圆心为坐标原点O,半径为2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP′,P′为垂足.
(Ⅰ)求线段PP′中点M的轨迹方程;
(Ⅱ)已知直线x-y-2=0与M的轨迹相交于A、B两点,求△OAB的面积.
题型:不详
难度:
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