已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-y22=1于A、B两点,且ON=12(OA+OB).(1)求直线AB的方程;(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两
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已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-y22=1于A、B两点,且ON=12(OA+OB).(1)求直线AB的方程;(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两
题型:不详
难度:
来源:
已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x
2
-
y
2
2
=1于A、B两点,且
ON
=
1
2
(
OA
+
OB
).
(1)求直线AB的方程;
(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两点,且
CD
•
AB
=0,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?
答案
解 (1)由题意知直线AB的斜率存在.
设直线AB:y=k(x-1)+2,代入x
2
-
y
2
2
=1
得(2-k
2
)x
2
-2k(2-k)x-(2-k)
2
-2=0.(*)
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1
、x
2
是方程(*)的两根,
∴2-k
2
≠0.
且x
1
+x
2
=
2k(2-k)
2-
k
2
.
∵
ON
=
1
2
(
OA
+
OB
),
∴N是AB的中点,
∴
x
1
+
x
2
2
=1,
∴k(2-k)=-k
2
+2,k=1,
∴直线AB的方程为y=x+1.
(2)共圆.将k=1代入方程(*)得x
2
-2x-3=0,解得x=-1或x=3,
∴A(-1,0),B(3,4).
∵
CD
•
AB
=0,∴CD垂直AB,
∴CD所在直线方程为
y=-(x-1)+2,
即y=3-x,代入双曲线方程整理得x
2
+6x-11=0,
令C(x
3
,y
3
),D(x
4
,y
4
)及CD中点M(x
0
,y
0
)
则x
3
+x
4
=-6,x
3
•x
4
=-11,
∴x
0
=
x
3
+
x
4
2
=-3,y
0
=6,
即M(-3,6).
|CD|=
1+
k
2
|x
3
-x
4
|
=
1+
k
2
(
x
3
+
x
4
)
2
-4
x
3
x
4
=4
10
,
|MC|=|MD|=
1
2
|CD|=2
10
,
|MA|=|MB|=2
10
,
即A、B、C、D到M的距离相等,
∴A、B、C、D四点共圆.
举一反三
过点A (4,3)作直线L,如果它与双曲线
x
2
4
-
y
2
3
=1只有一个公共点,则直线L的条数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
,试确定m的范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线y=4x+m对称.
题型:不详
难度:
|
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直线y=x+2与椭圆
x
2
m
+
y
2
3
=1有两个公共点,则m的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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要使直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆
x
2
7
+
y
2
a
=1总有公共点,实数a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的顶点与双曲线
y
2
4
-
x
2
12
=1
的焦点重合,它们的离心率之和为
13
5
,若椭圆的焦点在x轴上,求椭圆的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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