(Ⅰ)过F作l的垂线交l于K,以KF的中点为原点,KF所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图1, 并设|KF|=p,则可得该抛物线的方程为 y2=2px(p>0); (Ⅱ)该命题为真命题,证明如下: 如图2,设PQ中点为M,P、Q、M在抛物线准线l上的射影分别为A、B、D, ∵PQ是抛物线过焦点F的弦, ∴|PF|=|PA|,|QF|=|QB|,又|MD|是梯形APQB的中位线, ∴|MD=(|PA|+|QB|)=(|PF|+|QF|)=. ∵M是以PQ为直径的圆的圆心, ∴圆M与l相切. (Ⅲ)选择椭圆类比(Ⅱ)所写出的命题为: “过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆与椭圆相应的准线l相离”. 此命题为真命题,证明如下: 证明:设PQ中点为M,椭圆的离心率为e, 则0<e<1,P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D, ∵=e,∴|PA|=,同理得|QB|=. ∵MD是梯形APQB的中位线, ∴|MD|==(+)=>, ∴圆M与准线l相离. 选择双曲线类比(Ⅱ)所写出的命题为: “过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆与双曲线相应的准线l相交”. 此命题为真命题,证明如下: 证明:设PQ中点为M,椭圆的离心率为e, 则e>1,P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D, ∵=e,∴|PA|=,同理得|QB|=. ∵MD是梯形APQB的中位线, ∴|MD|==(+)=<, ∴圆M与准线l相交. |