已知椭圆的左焦点为,离心率e=,M、N是椭圆上的动点。(Ⅰ)求椭圆标准方程;(Ⅱ)设动点P满足:,直线OM与ON的斜率之积为,问:是否存在定点,使得为定值?,若
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已知椭圆的左焦点为,离心率e=,M、N是椭圆上的动点。(Ⅰ)求椭圆标准方程;(Ⅱ)设动点P满足:,直线OM与ON的斜率之积为,问:是否存在定点,使得为定值?,若
题型:广东省期末题
难度:
来源:
已知椭圆
的左焦点为
,离心率e=
,M、N是椭圆上的动点。
(Ⅰ)求椭圆标准方程;
(Ⅱ)设动点P满足:
,直线OM与ON的斜率之积为
,问:是否存在定点
,使得
为定值?,若存在,求出
的坐标,若不存在,说明理由。
(Ⅲ)若
在第一象限,且点
关于原点对称,点
在
轴上的射影为
,连接
并延长交椭圆于点
,证明:
;
答案
解:(Ⅰ)由题设可知:
故
故椭圆的标准方程为:
(Ⅱ)设
,由
可得:
由直线OM与ON的斜率之积为
可得:
,即
由①②可得:
M、N是椭圆上,故
故
,即
由椭圆定义可知存在两个定点
,使得动点P到两定点距离和为定值
;
(Ⅲ)设
由题设可知
由题设可知
斜率存在且满足
…………③
将③代入④可得:
……⑤
点
在椭圆
,
故
举一反三
如图,F是定直线l外的一个定点,C是l上的动点,有下列结论:若以C为圆心,CF为半径的圆与l相交于A、B两点,过A、B分别作l的垂线与圆C过F的切线相交于点P和点Q,则必在以F为焦点,l为准线的同一条抛物线上.
(Ⅰ)建立适当的坐标系,求出该抛物线的方程;
(Ⅱ)对以上结论的反向思考可以得到另一个命题:“若过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问:此命题是正确?试证明你的判断;
(Ⅲ)请选择椭圆或双曲线之一类比(Ⅱ)写出相应的命题并证明其真假.(只选择一种曲线解答即可,若两种都选,则以第一选择为平分依据)
题型:湛江二模
难度:
|
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要使直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆
x
2
7
+
y
2
a
=1总有公共点,实数a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
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设直线y=kx与椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
相交于A、B两点,分别过A、B向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于( )
A.
±
3
2
B.
±
2
3
C.
±
1
2
D.±2
题型:不详
难度:
|
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若F
1
、F
2
是椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
的左、右两个焦点,M是椭圆上的动点,则
1
|M
F
1
|
+
1
|M
F
2
|
的最小值为______.
题型:普陀区一模
难度:
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已知点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线
x=4
t
2
y=4t
(t为参数)上,则|PF|的长为______.
题型:江门一模
难度:
|
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