已知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中
题型:天津高考真题难度:来源:
已知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值。若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由。 |
答案
解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到两定点距离的和为定值 ∵i=(1,0),c=(0,a), ∴c+λi=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa) 因此,直线OP和AP的方程分别为和 消去参数λ,得点的坐标满足方程 整理得 ① 因为,所以得: (i)当时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F; (ii)当时,方程①表示椭圆,焦点和为合乎题意的两个定点; (iii)当时,方程①也表示椭圆,焦点和为合乎题意的两个定点。 |
举一反三
已知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值,若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由。 |
方程(x+y-1)表示的曲线是 |
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A.一直线与一圆 B.一直线与一半圆 C.两射线与一圆 D.两射线与一半圆 |
如果曲线C上的点的坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解,那么 |
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A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解 D.坐标不满足F(x,y)=0的点不在C上 |
已知点C(1,0),点A,B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足,设P为弦AB的中点。 |
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(1)求点P的轨迹T的方程; (2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由。 |
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