已知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R
题型:江苏高考真题难度:来源:
已知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值,若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由。 |
答案
解:∵c=(0,a),i=(1,0), ∴c+λi=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa), 因此,直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y-a=-2λax, 消去参数λ,得点P(x,y)的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x2, 整理得,① 因为a>0,所以得 (Ⅰ)当时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F; (Ⅱ)当时,方程①表示椭圆,焦点为合乎题意的两个定点; (Ⅲ)当时,方程①也表示椭圆,焦点为合乎题意的两个定点。 |
举一反三
方程(x+y-1)表示的曲线是 |
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A.一直线与一圆 B.一直线与一半圆 C.两射线与一圆 D.两射线与一半圆 |
如果曲线C上的点的坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解,那么 |
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A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解 D.坐标不满足F(x,y)=0的点不在C上 |
已知点C(1,0),点A,B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足,设P为弦AB的中点。 |
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(1)求点P的轨迹T的方程; (2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由。 |
已知曲线C:y=x2与直线l:x-y+2=0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA<xB。记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D。设点P(s,t)是L上的任一点,且点P与点A和点B均不重合, (1)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程; (2)若曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与点D有公共点,试求a的最小值。 |
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