如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点。(1)求点P的轨迹H的方

如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点。(1)求点P的轨迹H的方

题型:江西省高考真题难度:来源:
如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点。
(1)求点P的轨迹H的方程;
(2)在Q的方程中,令a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0<θ≤),确定θ的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?
答案
解:如图,(1)设椭圆Q:(a>b>0)上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),又设P点坐标为P(x,y),

1°当AB不垂直x轴时,x1≠x2
由(1)-(2)得b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0

∴b2x2+a2y2-b2cx=0(3);
2°当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(3)
故所求点P的轨迹方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0。
(2)因为,椭圆Q右准线l方程是x=,原点距l的距离为
由于c2=a2-b2,a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0<θ≤
==2sin(+
当θ=时,上式达到最大值。
此时a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1
设椭圆Q:上的点 A(x1,y1)、B(x2,y2),
三角形ABD的面积S=|y1|+|y2|=|y1-y2|
设直线m的方程为x=ky+1,代入中,得
(2+k2)y2+2ky-1=0
由韦达定理得y1+y2=,y1y2=

令t=k2+1≥1,得
当t=1,k=0时取等号
因此,当直线m绕点F转到垂直x轴位置时,三角形ABD的面积最大。
举一反三
如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点为F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A,B两点,P为线段AB的中点。
(1)求点P的轨迹H的方程;
(2)若在Q的方程中,令a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0<θ≤),设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N,当θ为何值时,△MNF为一个正三角形?
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设点P(x0,y0)在直线x=m(y≠±m,0<m<1)上,过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB,切点为A、B,定点M(,0),
(1)求证:三点A、M、B共线;
(2)过点A作直线x-y=0的垂线,垂足为N,试求△AMN的重心G所在曲线方程。
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设0<θ<,曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1 有4个不同的交点,
(Ⅰ)求θ的取值范围;
(Ⅱ)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围。
题型:天津高考真题难度:| 查看答案
已知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值。若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由。
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已知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值,若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由。
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