已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)。(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形

已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)。(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形

题型:0112 模拟题难度:来源:
已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)。
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状:
(Ⅲ)当λ=-2时,过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交于A、B两点,求△AOB的面积的最大值。
答案
解:(Ⅰ)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,
所以
整理得(λ≠0,x≠±1)。
(Ⅱ)①当λ>0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(除去顶点);
②当-1<λ<0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点);
③当λ=-1时,轨迹C为以原点为圆心,1的半径的圆除去点(-1,0),(1,0);
④当λ<-1时,轨迹C为中心在原点,焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)。
(Ⅲ)当λ=-2时,轨迹C为椭圆(x≠±1) ,
由题意知,l的斜率存在,设l的方程为y=kx+1,
代入椭圆方程中整理,得, (*)
,则x1,x2的方程(*)的两个实根,




当k=0时,取“=”,
∴k=0时,△OAB的面积取最大值为
举一反三
曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹,
给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积大于a2;其中,所有正确结论的序号是(    )。
题型:北京高考真题难度:| 查看答案
为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图).在直线x=2的右侧,考察范围为到点B的距离不超过km的区域;在直线x=2的左侧,考察范围为到A,B两点的距离之和不超过4km的区域,
(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程;
(Ⅱ)如图所示,设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍.求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.
题型:湖南省高考真题难度:| 查看答案
如图,已知直线a∥平面α,在平面α内有一动点P,点A是定直线a上定点,且直线AP与a夹角为θ(θ为锐角),点A到平面α距离为d,则动点P的轨迹方程为
[     ]
A.x2tan2θ+y2=d2
B.x2tan2θ-y2=d2
C.y2=2d(x-
D.y2=-2d(x-
题型:0103 模拟题难度:| 查看答案
若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为(    )。
题型:同步题难度:| 查看答案
方程(x-y)2+(xy-1)2=0的曲线是

[     ]

A.一条直线和一条双曲线
B.两条双曲线
C.两个点
D.以上答案都不对
题型:同步题难度:| 查看答案
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