已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点,O为原点,且|OA|=a,|OB|=b,(a>2,b>2).(1)求证:曲线C
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已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点,O为原点,且|OA|=a,|OB|=b,(a>2,b>2). (1)求证:曲线C与直线l相切的条件是(a-2)(b-2)=2; (2)求线段AB中点的轨迹方程. |
答案
(1)证明:由题意知,直线l的方程为+=1, 即bx+ay-ab=0. 曲线C的方程配方得(x-1)2+(y-1)2=1, ∴直线l与圆C相切的充要条件是1=, 整理得ab-2a-2b+2=0, 即(a-2)(b-2)=2; (2)设AB的中点为M(x,y), 则由中点坐标公式得:a=2x,b=2y,代入(a-2)(b-2)=2,得 (2x-2)(2y-2)=2, 即 (x-1)(y-1)=(其中x>1,y>1), ∴线段AB中点的轨迹方程为:(x-1)(y-1)=(其中x>1,y>1). |
举一反三
已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′,求线段PP′中点M的轨迹. |
圆C:x2+y2-2x-2y-7=0,设P是该圆的过点(3,3)的弦的中点,则动点P的轨迹方程是______. |
已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等,则点P的轨迹是( ) |
如图,已知定点A(1,0),定圆C:(x+1)2+y2=8,M为圆C上的一个动点,点P在线段AM上,点N在线段CM上,且满足=2,•=0,则点N的轨迹方程是______.
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已知过点M(1,0)的直线交椭圆C:x2+3y2=6于A,B两点. (1)求弦AB中点的轨迹方程; (2)若F为椭圆C的左焦点,求△ABF面积的最大值. |
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