(Ⅰ)由条件可知,点P到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等, 所以点P的轨迹是以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.…(4分) (Ⅱ)解法一:假设△ABC是直角三角形,不失一般性,设∠A=90°,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 则由•=0,=(x2-x1,y2-y1),=(x3-x1,y3-y1), 可得(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)=0.…(6分) 因为xi=(i=1,2,3),y1≠y2,y1≠y3, 所以(y1+y2)(y1+y3)+16=0.…(8分) 又因为++=,所以x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0, 所以y2y3=-16. ① 又y12+y22+y32=4(x1+x2+x3)=12, 所以(-y2-y3)2+y22+y32=12,即y22+y32+y2y3=6. ②…(10分) 由①,②得y22+(-)2-16=6,所以y24-22y22+256=0. ③ 因为△=(-22)2-4×256=-540<0. 所以方程③无解,从而△ABC不可能是直角三角形.…(12分) 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由++=, 得x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0.…(6分) 由条件的对称性,欲证△ABC不是直角三角形,只需证明∠A≠90°. (1)当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而x3=3-2x1,y3=0,即点C的坐标为(3-2x1,0). 由于点C在y2=4x上,所以3-2x1=0,即x1=, 此时A(,),B(,-),C(0,0),则∠A≠90°.…(8分) (2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为:x=ty+m(t≠0),代入y2=4x, 整理得:y2-4ty-4m=0,则y1+y2=4t. 若∠A=90°,则直线AC的斜率为-t,同理可得:y1+y3=-. 由y1+y2+y3=0,得y1=4t-,y2=,y3=-4t. 由x1+x2+x3=3,可得y12+y22+y32=4(x1+x2+x3)=12. 从而(4t-)2+()2+(-4t)2=12, 整理得:t2+=,即8t4-11t2+8=0,① △=(-11)2-4×8×8=-135<0,所以方程①无解,从而∠A≠90°.…(11分) 综合(1),(2),△ABC不可能是直角三角形.…(12分) |