(1)|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|, ∴|AF2|-|BF2|=|BF1|-|AF1|=6-4=2, 故轨迹F为以A、B为焦点的双曲线的右支. 设其方程为:-=1(a>0,b>0,x>0), ∵2a=2, ∴a=1,b2=c2-a2=4. 故轨迹方程为x2-=1(x>0).…(6分) (2)由,消去y整理,得 方程(4-k2)x2-2kbx-(b2+4)=0有两个正根x1,x2. ∴ | △=4k2b2+4(4-k2)( b2+4)>0 | x1x2=>0 | x1+x2=>0 |
| | , 设M(x1,y1),N(x2,y2),由条件知x1x2+y1y2=0. 而y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2+b2, ∴(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0, 即-+b2=0, 整理得3b2=4(k2+1),即b2=(k2+1), ∴b2-k2+4>0, 即(k2+1)-k2+4>0显然成立. ∴ 而k>0,∴b<0. ∴b2=(k2+1)>(4+1)=. ∴b<-=-. 故b的取值范围为(-∞,-).…(13分) |