已知动点P与双曲线x22-y23=1的两个焦点F1、F2的距离之和为6.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)PF1•PF2=3,求△PF1F2的面积;(3)若已

已知动点P与双曲线x22-y23=1的两个焦点F1、F2的距离之和为6.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)PF1•PF2=3,求△PF1F2的面积;(3)若已

题型:不详难度:来源:
已知动点P与双曲线
x2
2
-
y2
3
=1
的两个焦点F1、F2的距离之和为6.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)


PF1


PF2
=3
,求△PF1F2的面积;
(3)若已知D(0,3),M、N在曲线C上,且


DM


DN
,求实数λ的取值范围.
答案
(1)由双曲线
x2
2
-
y2
3
=1
的两个焦点:F1、F2
可知F1(-√5,0),F2(√5,0)
∵动点P到两个焦点F1,F2的距离之和为定值6且6>2


5

∴动点P的运动轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆
∴c=


5
,a=3,b2=a2-c2=4.
∴动点P的轨迹C的方程:
x2
9
+
y2
4
=1

(2)设P(x,y),则


PF1
=(-


5
-x
,-y);


PF2
=(


5
-x,-y);


PF 1


PF 2
=x2-5+y2=3.
∵点P的轨迹C的方程:
x2
9
+
y2
4
=1






x2-5+y2=3
x2
9
+
y2
4
=1
⇒y2=
4
5
|y|=
2


5
5

∴S=
1
2
|F1F2|•|y|=
1
2
×2


5
×
2


5
5
=2.
(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),
把直线MN的方程为y=kx+3代入 
x2
9
+
y2
4
=1
消去x整理得
:(4+9k2)x2+54kx+45=0
∵△=54×54k2-4×45(4+9k2)≥0
∴k2
5
9
…①
∴x1+x2=
-54k
4+9k2
…②,
x1•x2=
45
4+9k2
…③


DM


DN

∴x1=λx2…④
由②③④并消去x1与x2…并整理得:
(1+λ)2
λ
=
324k2
20+45k2

再由①可得4≤
(1+t)2
t
36
5

解得
1
5
≤t≤5
当k不存在时此时MN为短轴容易得t=
1
5
或5
综上可知λ取值范围为[
1
5
,5]
举一反三
在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:
则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为______(用代号C1、C2、C3填入).
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条  件方  程
①△ABC的周长为10C1:y2=25
②△ABC的面积为10C2:x2+y2=4(y≠0)
③△ABC中,∠A=90°C3
x2
9
+
y2
5
=1(y≠0)
已知点A(-2,0),B(2,0),动点P满足:∠APB=2θ,且|PA
题型:PB|sin2θ=2.
(1)求动点P的轨迹Q的方程;
(2)过点B的直线l与轨迹Q交于两点M,N.试问在x轴上是否存在定点C,使得


CM


CN
为常数.若存在,求出点C的坐标;若不存在,说明理由.
F1,F2是双曲线的两个焦点,Q是双曲线上任一点,从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹为.
A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线
已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点轨迹是(  )
A.双曲线B.双曲线一支C.直线D.一条射线
已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点F的坐标为(3,0),直线l:x+2y-2=0交椭圆于A、B两点,线段AB的中点为M(1,
1
2
),
(1)求椭圆的方程;
(2)动点N满足


NA


NB
=0
,求动点N的轨迹方程.