已知双曲线x2-y2=2（1）求以M（3，1）为中点的弦所在的直线的方程（2）求过M（3，1）的弦的中点的轨迹方程．
题型：不详难度：来源：
已知双曲线x2-y2=2
（1）求以M（3，1）为中点的弦所在的直线的方程
（2）求过M（3，1）的弦的中点的轨迹方程． |
答案
（1）设以M（3，1）为中点的双曲线的弦BC，B（x1，y1），C（x2，y2），则x12-y12=1①，x22-y22=1②
①-②可得（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0
∵M（3，1）为BC的中点
∴6（x1-x2）-2（y1-y2）=0，BC的斜率为：
∴=3
∴以A（3，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8
代入双曲线方程可得3x2-6x+8=0，此时△＜0，即所求直线不存在
为：3x-y-8=0
（2）设直线方程为y-1=kx-3k，
把它代入x2-y2=1，
整理得（k2+1）x2+（6k2-2k）x+6k-9k2-2=0．
因为（3，1）在双曲线内部，所以直线和双曲线有两个不同交点，
设直线与双曲线两个交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），中点坐标为C（x，y），则
x===，
y=kx-3k+1．k=
消去k得x=，
可得：x2-y2-3x+y=0，这就是所求轨迹方程． |
举一反三
已知相异两定点A、B，动点P满足|PA|2-|PB|2=m（m∈R是常数），则点P的轨迹是（ ）| A．直线 | B．圆 | C．双曲线 | D．抛物线 | | 动点P在抛物线y=x2+1上运动，则动点P和两定点A（-1，0）、B（0，-1）所成的△PAB的重心的轨迹方程是______． | 已知A、B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若=λ，=μ，证明：λ+μ为定值． | 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，且•=-4．
（1）求直线l恒过一定点的坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹方程． | 与y轴相切且和曲线x2+y2=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（ ）| A．y2=-4（x-1）（0＜x≤1） | B．y2=4（x-1）（0＜x≤1） | | C．y2=4（x+1）（0＜x≤1） | D．y2=-2（x-1）（0＜x≤1） |
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