在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,且OA•OB=-4.(1)求直线l恒过一定点的坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹方程.
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在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,且OA•OB=-4.(1)求直线l恒过一定点的坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹方程.
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y
2
=4x相交于A、B两点,且
OA
•
OB
=-4
.
(1)求直线l恒过一定点的坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹方程.
答案
(1)设l:x=ty+b代入抛物线y
2
=4x,消去x得y
2
-4ty-4b=0设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
则y
1
+y
2
=4t,y
1
y
2
=-4b,∴
OA
•
OB
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=(ty
1
+b)(ty
2
+b)+y
1
y
2
=b
2
-4b
令b
2
-4b=-4,∴b
2
-4b+4=0,∴b=2.
∴直线l过定点(2,0).
(2)设线段AB的中点M(x,y),
∵A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)在曲线y
2
=4x上
∴y
1
2
=4x
1
,y
2
2
=4x
2
两式作差得(y
2
-y
1
)(y
2
+y
1
)=4(x
2
-x
1
)
即
y
2
-y
1
x
2
-x
1
=
4
y
1
+
y
2
=k
则
y=
y
1
+
y
2
2
=
2
k
y=k(x-2)
…(12分)
∴线段AB的中点M的轨迹方程 y
2
=2(x-2)…(14分)
举一反三
与y轴相切且和曲线x
2
+y
2
=4(0≤x≤2)内切的动圆的圆心的轨迹方程是( )
A.y
2
=-4(x-1)(0<x≤1)
B.y
2
=4(x-1)(0<x≤1)
C.y
2
=4(x+1)(0<x≤1)
D.y
2
=-2(x-1)(0<x≤1)
题型:不详
难度:
|
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若动点P到定点(0,-3)的距离比它到x轴的距离多了3,则点P的轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1 (a>0,b>0)
的两个焦点为F
1
(-2,0),F
2
(2,0),点
(3,
7
)
在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知Q(0,2),P为双曲线C上的动点,点M满足
QM
=
MP
,求动点M的轨迹方程;
(3)过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,记O为坐标原点,若△OEF的面积为2
2
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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抛物线y
2
=4x上任一点M与点A(0,-1)的连线的中点轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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过原点的动椭圆的一个焦点为F(1,0),长轴长为4,则动椭圆中心的轨迹方程为 ______.
题型:不详
难度:
|
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