已知长为m(m>0)的线段P1P2两端点上在y2=4x上移动.(1)求P1P2中点M的轨迹方程;(2)求M点到y轴距离的最小值及对应点M的坐标.
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已知长为m(m>0)的线段P1P2两端点上在y2=4x上移动. (1)求P1P2中点M的轨迹方程; (2)求M点到y轴距离的最小值及对应点M的坐标. |
答案
(1)设P1(t12,2t1),P2(t22,2t2),P1P2中点为M(x,y),则 x=(+)…①y=t1+t2…② 而|P1P2|=m∴(t12-t22)2+(2t1-2t2)2=m2…③ 由①,②,③(4x-y2)(y2+4)=m2…④ 这就是P1P2中点的轨迹方程. (2)由④:x=(y2+)=[(y2+4)+]-1. ∵y2+4∈[4,+∞) 当m≥4时,(y2+4)+≥2m,当仅当y2+4=m,即y=±时, 取“=”号.此时:xmin=.M点的坐标为(,±). 当m<4时,由x-=(y2+-)= ∵0<m<4∴y2+16-m2>0,当仅当y=0时,x-=0 此时,xmin=,对应M点(,0) ∴当m≥4时,M到y轴距离最小值为,M点坐标为(,±). 当0<m<4时,M到y轴距离最小值为,M点坐标为(,0) |
举一反三
已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-5,0)、(5,0),边AC、BC所在直线的斜率之积为-,求顶点C的轨迹方程. |
已知动圆P(圆心为点P)过定点A(1,0),且与直线x=-1相切,记动点P的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程; (2)设过点P的直线l与曲线C相切,且与直线x=-1相交于点Q.试研究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. |
已知直线l1:y=x和直线l2:y=-x,动点M到x轴的距离小于到y轴的距离,且M到l1,l2的距离之积为常数4. (1)求动点M的轨迹C的方程; (2)过点N(3,0)的直线L与曲线C交与P、Q,若=2,求直线L的方程. |
已知点P(x0,y0)是渐近线为2x±3y=0且经过定点(6,2)的双曲线C1上的一动点,点Q是P关于双曲线C1实轴A1A2的对称点,设直线PA1与QA2的交点为M(x,y), (1)求双曲线C1的方程; (2)求动点M的轨迹C2的方程; (3)已知x轴上一定点N(1,0),过N点斜率不为0的直线L交C2于A、B两点,x轴上是否存在定点 K(x0,0)使得∠AKN=∠BKN?若存在,求出点K的坐标;若不存在,说明理由. |
设动点P在直线x=1上,O为坐标原点.以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ,则动点Q的轨迹是 ( ) |
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