已知点A,B的坐标分别是(0,-1),(0,1),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积-12.(1)求点M轨迹C的方程;(2)若过点D(2,0)的直线l与
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已知点A,B的坐标分别是(0,-1),(0,1),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积-12.(1)求点M轨迹C的方程;(2)若过点D(2,0)的直线l与
题型:不详
难度:
来源:
已知点A,B的坐标分别是(0,-1),(0,1),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积-
1
2
.
(1)求点M轨迹C的方程;
(2)若过点D(2,0)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点D、F(E在D、F之间),试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围(O为坐标原点).
答案
(1)、设M(x,y),∵
k
AM
-
k
BM
=-
1
2
,∴
y+1
x
•
y-1
x
=-
1
2
,
整理得动点M的轨迹方程为
x
2
2
+
y
2
=1(x≠0)
.
(2)由题意知直线l的斜率存在,设l的方程为
y=k(x-2)(k≠±
1
2
) ①
将①代入
x
2
2
+
y
2
=1
,得l的方程为(2k
2
+1)x
2
-8k
2
x+(8k
2
-2)=0,由△>0,解得
0<
k
2
<
1
2
.
设E(x
1
,y
1
),F(x
2
,y
2
),则
x
1
+
x
2
=
8
k
2
2
k
2
+1
x
1
x
2
=
8
k
2
-2
2
k
2
+1
…②
令λ=
S
△ODE
S
△ODF
,则λ=
|DE|
|DF|
,即
DE
=λ•
DF
,即
x
1
-2=λ(
x
2
-2)
,且0<λ<1.
由②得,
(
x
1
-2)+(
x
2
-2) =
-4
2
k
2
+1
(
x
1
-2)(
x
2
-2) =
x
1
x
2
-2(
x
1
+
x
2
) +4=
2
2
k
2
+1
,
∴
λ
(1+λ)
2
=
2
k
2
+1
8
,即
k
2
=
4λ
2
k
2
+1
-
1
2
∵
0<
k
2
<
1
2
,且
k
2
≠
1
4
,∴
0<
4λ
(1+λ)
2
-
1
2
<
1
2
,且
4λ
(1+λ)
2
-
1
2
≠
1
4
.
解得
3-2
2
<λ< 3+2
2
,且
λ≠
1
3
,∵0<λ<1,∴
3-2
2
<λ< 1
且
λ≠
1
3
.
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是
(3-2
2
,
1
3
)∪ (
1
3
,1)
.
举一反三
已知动圆M经过点G(0,-1),且与圆Q:x
2
+(y-1)
2
=8内切.
(Ⅰ)求动圆M的圆心的轨迹E的方程.
(Ⅱ)以
m=(1,
2
)
为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点A、B,在曲线E上是否存在点P使四边形OAPB为平行四边形(O为坐标原点).若存在,求出所有的P点的坐标与直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:石家庄二模
难度:
|
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动圆C的方程是(x-a-1)
2
+(y+2a)
2
=1,则圆心C的轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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由动点P向圆x
2
+y
2
=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为______.
题型:山东
难度:
|
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在平面直角坐标系中,已知两点A(2,5),B(0,1),若点C满足
OC
=
λ
1
OA
+
λ
2
OB
(O为坐标原点),其中λ
1
、λ
2
∈R,且λ
1
+λ
2
=1,则点C的轨迹方程为______.
题型:不详
难度:
|
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若方程x
2
-my
2
+2x+2y=0表示两条直线,则m的取值是______.
题型:不详
难度:
|
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