设A,B分别是直线y=255x和y=-255x上的两个动点,并且|AB|=20,动点P满足OP=OA+OB.记动点P的轨迹为C.(I) 求轨迹C的方程;(Ⅱ)若
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设A,B分别是直线y=255x和y=-255x上的两个动点,并且|AB|=20,动点P满足OP=OA+OB.记动点P的轨迹为C.(I) 求轨迹C的方程;(Ⅱ)若
题型:淄博一模
难度:
来源:
设A,B分别是直线
y=
2
5
5
x
和
y=-
2
5
5
x
上的两个动点,并且
|
AB
|=
20
,动点P满足
OP
=
OA
+
OB
.记动点P的轨迹为C.
(I) 求轨迹C的方程;
(Ⅱ)若点D的坐标为(0,16),M、N是曲线C上的两个动点,且
DM
=λ
DN
,求实数λ的取值范围.
答案
( I) 设P(x,y),
为A、B分别为直线
y=
2
5
5
x
和
y=-
2
5
5
x
上的点,
故可设
A(
x
1
,
2
5
5
x
1
)
,
B(
x
2
,-
2
5
5
x
2
)
.
∵
OP
=
OA
+
OB
,
∴
x=
x
1
+
x
2
y=
2
5
5
(
x
1
-
x
2
)
,
∴
x
1
+
x
2
=x
x
1
-
x
2
=
5
2
y
,…(4分)
又
|
AB
|=
20
,
∴
(
x
1
-
x
2
)
2
+
4
5
(
x
1
+
x
2
)
2
=20
.…(5分)
∴
5
4
y
2
+
4
5
x
2
=20
.
即曲线C的方程为
x
2
25
+
y
2
16
=1
.…(6分)
( II) 设N(s,t),M(x,y),
则由
DM
=λ
DN
,
可得(x,y-16)=λ (s,t-16).
故x=λs,y=16+λ (t-16).…(8分)
∵M、N在曲线C上,
∴
s
2
25
+
t
2
16
=1
λ
2
s
2
25
+
(λt-16λ+16)
2
16
=1.
…(10分)
消去s得
λ
2
(16-
t
2
)
16
+
(λt-16λ+16)
2
16
=1
.
由题意知λ≠0,且λ≠1,
解得
t=
17λ-15
2λ
.…(12分)
又|t|≤4,
∴
|
17λ-15
2λ
|≤4
.
解得
3
5
≤λ≤
5
3
(λ≠1).
故实数λ的取值范围是
3
5
≤λ≤
5
3
(λ≠1).…(14分)
举一反三
已知
|PM|-|PN|=2
2
,M(-2,0),N(2,0),求点P的轨迹W.
题型:不详
难度:
|
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直角坐标平面xoy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足
OP
•
OA
=4
,则点P的轨迹方程是 ______.
题型:上海
难度:
|
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在平面直角坐标系xoy中,设点F(1,0),直线l:x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹的方程;
(2)记Q的轨迹的方程为E,过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M,N.求证:直线MN必过定点R(3,0).
题型:韶关三模
难度:
|
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设0<a<b,过两定点A(a,0)和B(b,0)分别引直线l和m,使与抛物线y
2
=x有四个不同的交点,当这四点共圆时,求这种直线l与m的交点P的轨迹.
题型:不详
难度:
|
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已知△ABC中,
AB
=
a
,
AC
=
b
.对于平面ABC上任意一点O,动点P满足
OP
=
OA
+λ
a
+λ
b
,λ∈[0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点?说明理由.
题型:不详
难度:
|
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