在某次趣味运动会中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，

题型：不详难度：来源：

在某次趣味运动会中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为

1

3

，甲胜丙的概率为

1

4

，乙胜丙的概率为

1

3

．
（Ⅰ）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（Ⅱ）求三人得分相同的概率；
（Ⅲ）设在该小组比赛中甲得分数为ξ，求Eξ．

答案

（Ⅰ）设甲获小组第一且丙获小组第二为事件A，
所有场次为（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙）
则甲获小组第一且丙获小组第二为甲胜两场，丙胜一场
所以P（A）=

1

3

×

1

4

×

2

3

=

1

18

（Ⅱ）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B，
即每人胜一场输两场，有以下两种情形：
甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，概率为P₁=

1

3

×

1

3

×

3

4

=

1

12

，
甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，概率为P₂=

1

4

×

2

3

×

2

3

=

1

9

，
三人得分相同的概率为P（B）=P₁+P₂=

1

12

+

1

9

=

7

36

．
（Ⅲ）ξ可能的取值为0、1、2，
P（ξ=0）=

2

3

×

3

4

=

1

2

，P（ξ=1）=

1

3

×

3

4

+

1

4

×

2

3

=

5

12

，
P（ξ=2）=

1

3

×

1

4

=

1

12

，
所以ξ的分布列为：



Eξ=0×

1

2

+1×

5

12

+2×

1

12

=

7

12

．