已知正方形的边长为2,分别是边的中点.(1)在正方形内部随机取一点,求满足的概率;(2)从这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离为,求随机变量的分布列

已知正方形的边长为2,分别是边的中点.(1)在正方形内部随机取一点,求满足的概率;(2)从这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离为,求随机变量的分布列

题型:不详难度:来源:
已知正方形的边长为2,分别是边的中点.
(1)在正方形内部随机取一点,求满足的概率;
(2)从这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离为,求随机变量的分布列与数学期望
答案
(1);(2)详见解析
解析

试题分析:(1)首先判断这是一个几何概型,然后找出符合条件的区域与总区域的面积,利用面积之比即可算出相应的古典概型的概率;(2)先确定这八个点连线距离的几种情况,然后就不同的的值进行计算,利用离散型随机变量的计算方法列表并计算相应的数学期望。
试题解析:(1)这是一个几何概型.所有点构成的平面区域是正方形的内部,其面积是
1分
满足的点构成的平面区域是以为圆心,为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分,它可以看作是由一个以为圆心、为半径、圆心角为的扇形的内部(即四分之一个圆)与两个直角边为1的等腰直角三角形(△和△)内部构成.                        2分

其面积是.      3分
所以满足的概率为.       4分
(2)从这八个点中,任意选取两个点,共可构成条不同的线段.
5分
其中长度为1的线段有8条,长度为的线段有4条,长度为2的线段有6条,长度为的线段有8条,长度为的线段有2条.
所以所有可能的取值为.                    7分
,        ,        
,      .                9分
所以随机变量的分布列为:












10分
随机变量的数学期望为
.          12分
举一反三
某校50名学生参加智力答题活动,每人回答3个问题,答对题目个数及对应人数统计结果见下表:
答对题目个数
0
1
2
3
人数
5
10
20
15
根据上表信息解答以下问题:
(Ⅰ)从50名学生中任选两人,求两人答对题目个数之和为4或5的概率;
(Ⅱ)从50名学生中任选两人,用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及数学期望EX.
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(本小题满分12分)甲、乙等名同学参加某高校的自主招生面试,已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序(序号为).
(Ⅰ)求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率;
(Ⅱ)记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为,求随机变量的分布列与期望.
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为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
76
81
  (1)已知甲厂生产的产品共84件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75,该产品为优等品,
①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
②从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其期望.
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德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程,要求初等代数、初等几何都要合格,且初等数论和微积分初步至少有一门合格,则能取得参加数学竞赛复赛的资格,现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训,每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同,(见下表),且每一门课程是否合格相互独立,
课    程
初等代数
初等几何
初等数论
微积分初步
合格的概率




(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率;
(2)记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求的分布列及期望
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某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的50位顾客的相关数据,如下表所示:
一次购物量(件)
1≤n≤3
4≤n≤6
7≤n≤9
10≤n≤12
n≥13
顾客数(人)

20
10
5

结算时间(分钟/人)
0.5
1
1.5
2
2.5
已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80%.
(1)确定的值;
(2)若将频率视为概率,求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望;
(3)在(2)的条件下,若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2分钟的概率.
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