福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中

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福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为

，获得50元奖金的概率为

.
(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；
（II）为了能够筹得资金资助福利事业, 求

的取值范围.

答案

(I)0.75 ； (II)

．

解析

试题分析：第(I) 利用互斥事件的概率公式

进行求解；第(II)需仔细随机变量的各种取值进行分析，写出对应随机变量的分布列．
试题解析：
（I）设至少一张中奖为事件

则

4分
(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为

则

可以取

6分

的分布列为

8分
所以

的期望为

11分
所以当

时，即

12分
所以当

时，福彩中心可以获取资金资助福利事业 13分

举一反三

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中
随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是：

.
(I)求图中

的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在

岁的人数;
(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为

,求

的分布列及数学期望.

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已知正方形

的边长为2，

分别是边

的中点．
（1）在正方形

内部随机取一点

，求满足

的概率；
（2）从

这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为

，求随机变量

的分布列与数学期望

．

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某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：

答对题目个数	0	1	2	3
人数	5	10	20	15

根据上表信息解答以下问题：
（Ⅰ）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；
（Ⅱ）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.

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（本小题满分12分）甲、乙等

名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为

）．
（Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率；
（Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为

，求随机变量

的分布列与期望．

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为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号	1	2	3	4	5
x	169	178	166	175	180
y	75	80	77	76	81

（1）已知甲厂生产的产品共84件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75，该产品为优等品，
①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
②从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数

的分布列及其期望．

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