甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。最终，商定以抛硬币的方式决定结果。规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得

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甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。最终，商定以抛硬币的方式决定结果。规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议.记所需抛币次数为

.
⑴求

=6的概率；
⑵求

的分布列和期望.

答案

（1）

；（2）

解析

试题分析：（1）

=6说明前5次中恰有3次胜2次负，第6次一定是胜，而且甲乙两人均有可能胜；
（2）将

的取值分析明白：

说明4次比赛均胜；

说明第5次一定胜，前4次中3胜1负；

=6说明前5次中恰有3次胜2次负，第6次一定是胜;

说明第7次一定胜，前6次中3胜3负.
试题解析：(1)

4分
(2)分布列为:

	4	5	6	7

10分
∴

. 12分

次独立事件中某事件恰好发生

次的概率公式；2.互斥事件概率加法；3.离散型随机变量的分布列.

举一反三

福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为

，获得50元奖金的概率为

.
(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；
（II）为了能够筹得资金资助福利事业, 求

的取值范围.

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为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中
随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是：

.
(I)求图中

的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在

岁的人数;
(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为

,求

的分布列及数学期望.

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已知正方形

的边长为2，

分别是边

的中点．
（1）在正方形

内部随机取一点

，求满足

的概率；
（2）从

这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为

，求随机变量

的分布列与数学期望

．

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某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：

答对题目个数	0	1	2	3
人数	5	10	20	15

根据上表信息解答以下问题：
（Ⅰ）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；
（Ⅱ）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.

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（本小题满分12分）甲、乙等

名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为

）．
（Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率；
（Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为

，求随机变量

的分布列与期望．

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