给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2-x+a=0有实数根；如果“P∧Q”为假，且“P∨Q”为真，求实数a的取值范围

题型：不详难度：来源：

给定两个命题，P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；如果“P∧Q”为假，且“P∨Q”为真，求实数a的取值范围．

答案

对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立⇔a=0或

a＞0 △＜0

⇔0≤a＜4；
关于x的方程x²-x+a=0有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤

1

4

；
由于“P∧Q”为假，且“P∨Q”为真，则P与Q一真一假；
（1）如果P真，且Q假，有0≤a＜4，且a＞

1

4

⇒

1

4

＜a＜4；
（2）如果Q真，且P假，有a＜0或a≥4，且a≤

1

4

⇒a＜0．
所以实数a的取值范围为：(-∞，0)∪(

1

4

，4)．