有下列命题:①已知函数f(x)为连续可导函数,若f(x)为奇函数,则f(x)的导函数f′(x)为偶函数;②若函数f(x)=x2,则f′(2x)=[f(2x)]′
题型:不详难度:来源:
有下列命题: ①已知函数f(x)为连续可导函数,若f(x)为奇函数,则f(x)的导函数f′(x)为偶函数; ②若函数f(x)=x2,则f′(2x)=[f(2x)]′; ③若函数g(x)=(x-1)(x-2)…(x-5)(x-6),则g′(6)=120; ④若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,则“a+b+c=0”是“f(x)有极值”的充要条件. 其中真命题的序号是______. |
答案
①∵函数f(x)为连续可导函数,f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x),两边求导可得-f′(-x)=-f′(x), ∴f′(-x)=f′(x),∴f(x)的导函数f′(x)为偶函数; 因此正确. ②函数f(x)=x2,则f′(2x)=2[f(2x)]′,因此②不正确; ③∵函数g(x)=(x-1)(x-2)…(x-5)(x-6), ∴g′(x)=(x-2)…(x-5)(x-6)+(x-1)(x-3)…(x-6)+…+(x-1)(x-2)…(x-5), 则g′(6)=0+(6-1)×(6-2)×…×(6-5)=120,因此正确; ④三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,f′(x)=3ax2+2bx+c, 若函数三次函数f(x)有极值,则f′(x)=0有两个不相等的实数根, ∴△=4b2-12ac>0,化为b2>3ac. 当a+b+c=0时,b2-3ac=(a+c)2-3ac=(a-c)2+c2>0(否则a=c=0,与题意矛盾).反之不成立. 因此“a+b+c=0”是“f(x)有极值”的充分但不必要条件. 因此④不正确. 综上可知:只有①③正确. 故答案为:①③. |
举一反三
下列命题中,假命题是( )A.∀x∈R,3x-2>0 | B.∀x∈N*,(x-2)2>0 | C.∃x0∈R,lgx0<2 | D.∃x0∈R,tanx0=2 |
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已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)=,给出下列结论: ①函数f(x)的值域为[0,4]; ②关于x的方程f(x)=有6个不相等的实根; ③当x∈[1,2]时,函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为S,则S=2; ④存在x0∈[1,8],使得不等式x0f(x0)>6成立. 其中你认为正确的所有结论的序号为______. |
下列命题中: ①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题; ②“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题; ③若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是0≤k≤; ④已知二面角α-l-β的平面角的大小是60°,P∈α,Q∈β,R是直线l上的任意一点,过点P与Q作直线l的垂线,垂足分别为P1,Q1,且|PP1|=2,|QQ1|=3,|P1Q1|=5,则|PR|+|QR|的最小值为5; 以上命题正确的为______(把所有正确的命题序号写在答题卷上). |
下列关于两条不同的直线l,m两个不重合的平面α,β的说法,正确的是( )A.若l⊂α且α⊥β,则l⊥β | B.若l⊥β且m⊥β,则l∥m | C.若l⊥β且α⊥β,则l∥α | D.若α∩β=m且l⊥m,则l⊥α |
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如图在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号) ①AC⊥BD ②AC=BD ③AC∥截面PQMN ④异面直线PM与BD所成的角为45°.
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