已知集合A={f(x)|f2(x)-f2(y)=f(x+y)•f(x-y),x、y∈R},有下列命题:①若f(x)=1,x≥0-1,x<0,则f(x)∈A;②若

已知集合A={f(x)|f2(x)-f2(y)=f(x+y)•f(x-y),x、y∈R},有下列命题:①若f(x)=1,x≥0-1,x<0,则f(x)∈A;②若

题型:不详难度:来源:
已知集合A={f(x)|f2(x)-f2(y)=f(x+y)•f(x-y),x、y∈R},有下列命题:
①若f(x)=





1,x≥0
-1,x<0
,则f(x)∈A;
②若f(x)=kx,则f(x)∈A;
③若f(x)∈A,则y=f(x)可为奇函数;
④若f(x)∈A,则对任意不等实数x1,x2,总有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0
成立.
其中所有正确命题的序号是______.(填上所有正确命题的序号)
答案
①令x≥y≥0,f2(x)-f2(y)=0而f(x+y)f(x-y)=1,∴①错误的;
②当f(x)=kx时,f2(x)-f2(y)=k2x2-k2y2=k(x-y)•k(x+y)=f(x+y)•f(x-y)成立,∴②正确.
③令x=y=0可得f(0)=0;再令x=0,有f2(0)-f2(y)=f(y)f(-y)即f(y)(f(y)+f(-y))=0,
则有f(y)=0或f(-y)=-f(y),因此f(x)为奇函数,∴③正确;
④如函数f(x)满足条件:
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0
成立.则函数在定义域上是减函数,
由②知当y=kx时,满足条件,但当k>0时,函数y=kx为增函数,∴④不满足条件,故∴④错误.
故答案为:②③
举一反三
给出以下四个命题:
(1)对于任意的a>0,b>0,则有algb=blga成立;
(2)直线y=x•tanα+b的倾斜角等于α;
(3)在空间如果两条直线与同一条直线垂直,那么这两条直线平行;
(4)在平面将单位向量的起点移到同一个点,终点的轨迹是一个半径为1的圆.
其中真命题的序号是______.
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若α、β是不重合的平面,a、b、c是互不相同的空间直线,则下列命题中为真命题的是______.(写出所有真命题的序号)
①若aα,bα,则ab
②若cα,b⊥α,则c⊥b
③若c⊥α,cβ,则α⊥β
④若b⊂α,c⊂α且a⊥b,a⊥c,则a⊥α
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下列四个命题,其中正确的是(  )
①已知向量


α


β
,则“


α


β
=0
”的充要条件是“


α
=


0


β
=


0
”;
②已知数列{an}和{bn},则“
lim
n→∞
anbn=0
”的充要条件是“
lim
n→∞
an=0
lim
n→∞
bn=0
”;
③已知z1,z2∈C,则“z1•z2=0”的充要条件是“z1=0或z2=0”;
④已知α,β∈R,则“sinα•cosβ=0”的充要条件是“α=kπ,(k∈Z)或β=
π
2
+kπ,(k∈Z)
A.①②B.②③C.①④D.③④
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已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,有f(x+1)=-f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),给出下列命题:
①f(2013)+f(-2014)的值为0;
②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数;
③直线y=x与函数f(x)的图象有1个交点;
④函数f(x)的值域为(-1,1).
其中正确的命题序号有______.
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有以下四个命题:
①从1002个学生中选取一个容量为20的样本,用系统抽样的方法进行抽取时先随机剔除2人,再将余下的1000名学生分成20段进行抽取,则在整个抽样过程中,余下的1000名学生中每个学生被抽到的概率为
1
500

②线性回归直线方程
̂
y
=
̂
b
x+
̂
a
必过点(
.
x
.
y
);
③某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,则该组数据的众数为17,中位数为15;
④某初中有270名学生,其中一年级108人,二、三年级各81人,用分层抽样的方法从中抽取10人参加某项调查时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…270.则分层抽样不可能抽得如下结果:30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.以上命题正确的是(  )
A.①②③B.②③C.②③④D.①②③④
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