已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R”（1）若命题p为真，求实数a的取
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R”
（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真，求实数a的取值范围；
（3）¬p是q的什么条件？请说明理由． |
答案
（1）若命题p为真，即f（x）的定义域是R，
则（a2-1）x2+（a+1）x+1＞0恒成立，…（2分）
则a=-1或 | | a2-1＞0 | | △=(a+1)2-4(a2-1)＜0. |
| |
…（3分）
解得a≤-1或a＞．
∴实数a的取值范围为（-∞，-1]∪(，+∞）．…（5分）
（2）若命题q为真，即f（x）的值域是R，
设u=（a2-1）x2+（a+1）x+1的值域为A
则A⊇（0，+∞），…（6分）
等价于a=1或 | | a2-1＞0 | | △=(a+1)2-4(a2-1)≥0. |
| |
…（8分）
解得1≤a≤．
∴实数a的取值范围为[1，]．…（10分）
（3）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，
¬p：a∈(-1 ， ]；q：a∈[1 ， ]．
而(-1，]⊃[1，]，
∴¬p是q的必要而不充分的条件．…（13分） |
举一反三
下列说法中错误的个数是（ ）
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②命题“∀x∈R，x2-x≤0”的否定是“∃x∈R，x2-x≥0”；
③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；
④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件． |
| 若命题“∃x∈R，使x2+（a-1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为______． |
| 命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0．若命题p是假命题，则a的取值范围是______．（用区间表示） |
已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出4个命题：
①若m⊥α，m⊂β，则β⊥α；
②若α∥β，m∥n，m⊥α，则n⊥β；
③若α∩β=n，且m∥α，m∥β，则m∥n；
④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β．
其中正确命题的个数为（ ） |
| 设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题中是真命题的是（ ） |
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