给出下列命题：①函数y=sin（3π2+x）是偶函数；②函数y=cos（2x+π4）图象的一条对称轴方程为x=π8；③对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），

题型：不详难度：来源：

给出下列命题：
①函数y=sin（

3π

2

+x）是偶函数；
②函数y=cos（2x+

π

4

）图象的一条对称轴方程为x=

π

8

；
③对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；
④若对∀x∈R，函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则4是该函数的一个周期．
其中真命题的个数为______．

答案

对于①，因为y=sin（

3π

2

+x）=-cosx，是偶函数；故①正确；
对于②，因为函数y=cos（2x+

π

4

）图象的对称轴方程为2x+

π

4

=kπ，因为x=

π

8

不满足对称轴方程；故②不正确；
对于③；由于对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
所以f（x）为奇函数；g（x）为偶函数；
又因为x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；g（x）在（0，+∞）上单调递增；
所以f（x）在（-∞，0）上单调递增；g（x）在（-∞，0）上单调递减；
所以x＜0时，f′（x）＞0；g′（x）＜0；
则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；故③正确；
对于④，对∀x∈R，函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=-f（x+2），所以f（x+4）=f（x）
所以4是该函数的一个周期．故④正确；
所以①③④为真命题，
故答案为：3