已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.
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已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围. |
答案
由“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题. 若p为真命题,a≤x2恒成立, ∵x∈[1,2], ∴a≤1 ①; 若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根, △=4a2-4(2-a)≥0, 即a≥1或a≤-2 ②, 对①②求交集,可得{a|a≤-2或a=1}, 综上所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1. |
举一反三
下列四种说法:①命题“∃α∈R,sin3α=sin2α”的否定是假命题;②在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,A=则B=;③设二次函数f(x)=x2+ax+a,则“0<a<3-2”是“方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0<x1<x2<1”的充分必要条件.④过点(,1)且与函数y=的图象相切的直线方程是4x+y-3=0.其中所有正确说法的序号是______. |
已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,下面有三个命题: ①α∥β⇒l⊥m; ②α⊥β⇒l∥m; ③l∥m⇒α⊥β; 则真命题的个数为( ) |
a,b,c分别表示三条直线,M表示平面,给出下列四个命题: ①若a∥M,b∥M,则a∥b; ②若b⊂M,a∥b,则a∥M; ③若a⊥c,b⊥c,则a∥b; ④若a⊥M,b⊥M,则a∥b.其中正确命题的个数有______个. |
己知命题“∃x∈R,2x2+(a-1)x+≤0是假命题,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1) | B.(-1,3) | C.(-3,+∞) | D.(-3,1) |
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命题“∃x∈R,使ax2-2ax+3<0成立”是假命题,则实数a的取值范围为______. |
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