对于定义在区间D上的函数f(x),若满足对∀x1,x2∈D,且x1<x2时都有 f(x1)≥f(x2),则称函数f(x)为区间D上的“非增函数”.若f(x)为区

对于定义在区间D上的函数f(x),若满足对∀x1,x2∈D,且x1<x2时都有 f(x1)≥f(x2),则称函数f(x)为区间D上的“非增函数”.若f(x)为区

题型:成都二模难度:来源:
对于定义在区间D上的函数f(x),若满足对∀x1,x2∈D,且x1<x2时都有 f(x1)≥f(x2),则称函数f(x)为区间D上的“非增函数”.若f(x)为区间[0,1]上的“非增函数”且f(0)=l,f(x)+f(l-x)=l,又当x∈[0,
1
4
]时,f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命题:
①∀x∈[0,1],f(x)≥0;
②当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,时,f(x1)≠f(x)
③f(
1
8
)+f(
5
11
)+f(
7
13
)+f(
7
8
)=2;
④当x∈[0,
1
4
]时,f(f(x))≤f(x).
其中你认为正确的所有命题的序号为______.
答案
对于①,因为f(0)=1,且f(x)+f(l-x)=l,取x=0,得f(1)=0,对∀x∈[0,1],根据“非增函数”的定义知f(x)≥0.所以①正确;
对于②,由定义可知当x1,x2∈[0,1]且x1≠x2时,f(x1)与f(x2)可能相等.所以②不正确;
③由f(x)+f(l-x)=l,得f(
1
8
)+f(
7
8
)=1.因为当x∈[0,
1
4
]时f(x)≤-2x+1恒成立,所以f(
1
4
)≤
1
2
,又f(x)+f(l-x)=l,所以f(
1
2
)=
1
2
,而
1
4
1
2
,所以f(
1
4
)≥
1
2
,即f(
1
4
)=
1
2
,同理有f(
3
4
)=
1
2
,当x∈[
1
4
3
4
]时,由“非增函数”的定义可知,f(
3
4
)≤f(x)≤f(
1
4
),即f(x)=
1
2
.所以f(
5
11
)=f(
7
13
)=
1
2
.所以f(
1
8
)+f(
5
11
)+f(
7
13
)+f(
7
8
)=2,所以③成立.
④当x∈[0,
1
4
]时,x≤-2x+1,因为函数f(x)为区间D上的“非增函数”,所以f(x)≥f(-2x+1),所以f(f(x))≤f(-2x+1)≤f(x).所以④正确.
故答案为:①③④.
举一反三
下列命题成立的是(  )
A.若a>b,则
1
a
1
b
B.若a>b,c>d则a-c>b-d
C.若a3>b3,则a>bD.若a2>b2,则a>b
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已知命题p:f-1(x)是f(x)=1-3x的反函数,且|f-1(a)|<2;命题q:集合A={x|x2+(a+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0},且A∩B=Ф.
(Ⅰ)解不等式|f-1(a)|<2
(Ⅱ)求使命题p,q中有且只有一个真命题时实数a的取值范围.
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下列四个命题:
①函数f(x)=xsinx是偶函数;
②函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是π;
③把函数f(x)=3sin(2x+
π
3
)的图象向右平移
π
6
个单位长度可以得到f(x)=3sin2x的图象;
④函数f(x)=sin(x-
π
2
)在区间[0,π]上是减函数.
其中是真命题的是______(写出所有真命题的序号).
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由命题p:“函数y=
1
2
(ex-e-x
是奇函数”,与q:“数列a,a2,a3,…,a n,…是等比数列”构成的复合命题中,下列判断正确的是(  )
A.p∪q为假,p∩q为假B.p∪q为真,p∩q为真
C.p∪q为真,p∩q为假D.p∪q为假,p∩q为真
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有金盒、银盒、铜盒各一个,只有一个盒子里有一个红球.
金盒上写有命题p:红球在这个盒子里;
银盒上写有命题q:红球不在这个盒子里;
铜盒上写有命题r:红球不在金盒里.
p、q、r中有且只有一个是真命题,则红球在______  盒里.
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