四位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时,分别给出下面四个结论:①函数 f(x)的图象关于y轴对称; ②函数f(x)的值域为 (-1,1
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四位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时,分别给出下面四个结论:①函数 f(x)的图象关于y轴对称; ②函数f(x)的值域为 (-1,1
题型:不详
难度:
来源:
四位同学在研究函数
f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
时,分别给出下面四个结论:
①函数 f(x)的图象关于y轴对称;
②函数f(x)的值域为 (-1,1);
③若x
1
≠x
2
,则一定有f(x
1
)≠f(x
2
);
④若规定f
1
(x)=f(x),f
n+1
(x)=f[f
n
(x)],则
f
n
(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N
*
恒成立.
你认为上述四个结论中正确的有______.
答案
∵f(-x)=
-x
1+|-x|
=-
x
1+|x|
=-f(x),
∴函数 f(x)为奇函数,故其图象关于原点对称,①错误;
对于②,当x>0时,f(x)=
x
1+|x|
=
x
1+x
=1-
1
1+x
∈(0,1),
当x<0时,f(x)=
x
1+|x|
=
1
1-x
-1,
∵x<0,
∴-x>0,1-x>1,
∴0<
1
1-x
<1,-1<
1
1-x
-1<0,
∴当x<0时,f(x)∈(-1,0),
又f(0)=0,
∴函数f(x)的值域为 (-1,1),即②正确;
由②的分析可知,当x>0时,f(x)=1-
1
1+x
为单调函数,同理,当x<0时,f(x)=
x
1+|x|
=
1
1-x
-1也是单调函数,
∴若x
1
≠x
2
,则一定有f(x
1
)≠f(x
2
),故③正确;
对于④,f
1
(x)=f(x)=
x
1+|x|
,f
2
(x)=f[f
1
(x)]=
x
1+|x|
1+|
x
1+|x|
|
=
x
1+2|x|
,
同理可求,f
3
(x)=
x
1+3|x|
,…
∴f
n
(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N
*
恒成立,故④正确.
故答案为:②③④.
举一反三
有下列命题:①对角线不垂直的平行四边形不是菱形;②“若x>y,则x
2
>y
2
”;③“若
x
+
y
=0
,则xy=0”的逆命题;④“若m≤1,则方程x
2
-2x+m=0有实根”的逆否命题.其中是真命题的是( )
A.②③
B.①④
C.①③④
D.③④
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
+(a+1)x+4,(a∈R).命题P:函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数;命题Q:对任意的x∈R,f(x)>0恒成立;若P或Q为真,P且Q为假,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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下列4个命题:
①函数y=sinx在第一象限是增函数;
②函数
y=|cosx+
五
w
|
的最小正周期是π
③函数y=f(x),若f(五+wx)=f(五-wx),则f(x)的图象自身关于直线x=五对称;
④对于任意实数x有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时f′(x)>g′(x)
其中正确命题的序号是______.(填上所有正确命题的序号).
题型:不详
难度:
|
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已知命题p,q且“¬p∧¬q”为真命题,则必有( )
A.p真q真
B.p假q假
C.p真q假
D.p假q真
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,给出下列结论:
①由已知条件,这个三角形被唯一确定;
②△ABC一定是钝角三角形;
③sinA:sinB:sinC=7:5:3;
④若b+c=8,则△ABC的面积是
15
3
2
.
其中正确结论的序号是 ______.
题型:不详
难度:
|
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