已知二次函数f(x)=x2-mx+m(x∈R)同时满足:(1)不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;(2)在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)

已知二次函数f(x)=x2-mx+m(x∈R)同时满足:(1)不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;(2)在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)

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已知二次函数f(x)=x2-mx+m(x∈R)同时满足:(1)不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;(2)在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f(n),bn=1-
8-m
an
,我们把所有满足bi•bi+1<0的正整数i的个数叫做数列{bn}的异号数.根据以上信息,给出下列五个命题:
①m=0;
②m=4;
③数列{an}的通项公式为an=2n-5;
④数列{bn}的异号数为2;
⑤数列{bn}的异号数为3.
其中正确命题的序号为______.(写出所有正确命题的序号)
答案
若不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素,
根据二次函数的性质,应有△=(-m)2-4m=0 解得m=0或m=4.
当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数,不满足(2),故①错误
当m=4时,f(x)=x2-4x+4=(x-2)2,取0<x1=1<x2=2,
使得不等式f(x1)>f(x2),故m=4,故②正确.
由上Sn=f(n)=(n-2)2,当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5.
∴an=





1,n=1
2n-5,n≥2
.故③错误
当n=1时,b1=1-4=-3<0,
而b2=1-
4
a2
=5>0,b1b2<0,所以i可以为1.
n≥2时,bn•bn+1=(1-
4
2n-5
)(1-
4
2n-3
)=
(2n-9)(2n-7)
(2n-5)(2n-3)
<0.
解得n=2,4.即i=2、4
即数列{bn}的异号数为3.故④错误,⑤正确
故答案为:②⑤
举一反三
下列四个个命题,其中正确的命题是(  )
A.函数y=cotx在其定义域内是减函数
B.函数y=|sin(2x+
π
3
)|的最小正周期是π
C.函数y=cosx在每个区间[2kπ+π,2kπ+
4
](k∈z)上是增函数
D.函数y=tan(x+
π
4
)是奇函数
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下列命题中正确的是(  )
①若数列{an}是等差数列,且am+an=as+at(m、n、s、t∈N*),则m+n=s+t;
②若Sn是等差数列{an}的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列;
③若Sn是等比数列{an}的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列;
④若Sn是等比数列{an}的前n项的和,且Sn=Aqn+B;(其中A、B是非零常数,n∈N*),则A+B为零.
A.①②B.②③C.②④D.③④
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关于y=3sin(2x+
π
4
)
有以下命题:
①若f(x1)=f(x2)=0,则x1-x2
π
2
的整数倍;
②函数解析式可改写为y=3cos(2x-
π
4
)

③函数图象关于x=-
π
8
对称;
④函数图象关于点(-
π
8
,0)
对称;
其中正确的命题是______.
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下列正确命题的序号为______
(1)若直线l1⊥l2,则他们的斜率之积为-1   
(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn=t•5n-2-
1
5
,则实数t的值为5    
(3)若直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-1=0垂直,则a的值为2       
(4)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为
1
2
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对于二次函数f(x)=ax2+bx+c,有下列命题:
①若f(p)=f(q)(p≠q),则f(p+q)=c;
②若f(p)=q,f(q)=p,(p≠q),则f(p+q)=-(p+q);
③若f(p+q)=c(p≠q),则p+q=0或f(p)=f(q).
其中一定正确的命题是______.(写出所有正确命题的序号)
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