在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下面关于f(x)的判断:①f(x)是周期函数 ②f(x)关于直线x=1对称;

在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下面关于f(x)的判断:①f(x)是周期函数 ②f(x)关于直线x=1对称;

题型:不详难度:来源:
在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下面关于f(x)的判断:
①f(x)是周期函数 
②f(x)关于直线x=1对称;
③f(x)在[0,1]上是增函数;
④f(x)在[1,2]上是减函数;   
⑤f(2)=f(0).
其中正确判断的序号为(  )
A.①②B.①②⑤C.①②③④D.①②③④⑤
答案
由f(x+1)=-f(x),
得f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),
即可得周期T=2,故①正确
由f(x)为偶函数可得f(-x)=f(x),
由f(x+1)=-f(x)可得f(1+x)=-f(-x),则f(x)图象关于(
1
2
,0)对称,
又f(x)图象关于y轴(x=0)对称,故x=1也是图象的一条对称轴,故②正确;
由f(x)为偶函数且在[-1,0]上单调递增,
得f(x)在[0,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数,故③错,④错;
∵R上的偶函数f(x)的周期为2,∴f(2)=f(0).故⑤正确.
故选B.
举一反三
存在区间M[a,b](a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”.给出下列5个函数:
①f(x)=-x+1; ②f(x)=ex;③f(x)=x3;④f(x)=cos
π
2
x;⑤f(x)=lnx+1.
其中存在“稳定区间”的函数有______.(把所有正确的序号都填上)
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关于函数f(x)=lg
1-x
1+x
,有下列三个命题:
①对于任意x∈(-1,1),都有f(-x)=-f(x);
②f(x)在(-1,1)上是减函数;
③对于任意x1,x2∈(-1,1),都有f(x1)+f(x2)=f(
x1+x2
1+x1x2
)

其中正确命题的个数是(  )
A.0B.1C.2D.3
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下列四个命题:
①若0>a>b,则
1
a
1
b

②x>0,x+
1
x-1
的最小值为3;
③椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
比椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
更接近于圆;
④设A,B为平面内两个定点,若有|PA|+|PB|=2,则动点P的轨迹是椭圆;
其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)
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关于下列命题,正确的序号是______.
①函数y=tanx最小正周期是π;
②函数y=cos2(
π
4
-x)是偶函数;
③函数y=4sin(2x-
π
3
)的一个对称中心是(
π
6
,0);
④函数y=sin(x+
π
4
)在闭区间[-
π
2
π
2
]上是增函数.
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已知二次函数f(x)=x2-mx+m(x∈R)同时满足:(1)不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素;(2)在定义域内存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f(n),bn=1-
8-m
an
,我们把所有满足bi•bi+1<0的正整数i的个数叫做数列{bn}的异号数.根据以上信息,给出下列五个命题:
①m=0;
②m=4;
③数列{an}的通项公式为an=2n-5;
④数列{bn}的异号数为2;
⑤数列{bn}的异号数为3.
其中正确命题的序号为______.(写出所有正确命题的序号)
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