(1):(1)令t=logax(t∈R), 则x=at,f(t)=(at-a-t). ∴f(x)=(ax-a-x)(x∈R). ①当a>1时,指数函数y=ax是增函数,y=()x=a-x是减函数,y=-a-x是增函数. ∴y=ax-a-x为增函数, 又因为>0, ∴f(x)=(ax-a-x)(x∈R)是增函数. ②当0<a<1时,指数函数y=ax是减函数, y=()x=a-x是增函数,y=-a-x是减函数. ∴u(x)=ax-a-x为减函数. 又因为<0, ∴f(x)=(ax-a-x)(x∈R)是增函数. 综上可知,在a>1或0<a<1时,y=f(x),(x∈R)都是增函数. (2)易判断函数f(x)是奇函数,f(1-m)+f(1-m2)<0⇔f(1-m)<f(m2-1), 又f(x)为增函数,所以有 | 1-m<1-m2 | -1<m-1<1 | -1<m2-1<1 |
| | ,解得1<m<, 故不等式的解集{m|1<m<}; (3)当x∈(0,2)时,f(x)-4的值恒为负数,即f(x)-4<0恒成立, 因为f(x)为R上的单调增函数,则f(2)-4=(a2-a-2)-4≤0, 整理得a2-4a+1≤0,所以2-≤a≤2+, 又a>0且a≠1,所以实数a的取值范围是[2-,1)∪(1,2+]. |