下列命题中，真命题是______．①若f′（x0）=0，则函数f（x）在x=x0处取极值．②函数f（x）=lnx+x-2在区间（1，e）上存在零点．③“a=1”

题型：不详难度：来源：

下列命题中，真命题是______．
①若f′（x₀）=0，则函数f（x）在x=x₀处取极值．
②函数f（x）=lnx+x-2在区间（1，e）上存在零点．
③“a=1”是函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数的充分不必要条件．
④将函数y=2cos²x-1的图象向右平移

3π

4

个单位可得到y=sin2x的图象．
⑤点(

π

3

，

1

2

)是函数f(x)=cos

1

2

x(

3

sin

1

2

x+cos

1

2

x)图象的一个对称中心．

答案

令f（x）=x³，则f′（x₀）=3x²，当x=0时，f′（x）=0，此时函数f（x）不是极值，故①错误；
函数f（x）=lnx+x-2在区间（1，e）上是连续的，且f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，根据函数零点存在定理，可得函数在区间（1，e）上存在零点，故②正确；
函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数，则f(-x)=

a-e-x

1+ae-x

=

aex-1

ex+a

=-f(x)=-

a-ex

1+aex

，即解得a=±1，故③“a=1”是函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数的充分不必要条件正确；
将函数y=2cos²x-1=cos2x的图象向右平移

3π

4

个单位可得到y=cos[2（x-

3π

4

）]=cos（2x-

3π

2

）=-sin2x的图象，故④错误．
当x=

π

3

时，函数f(x)=cos

1

2

x(

3

sin

1

2

x+cos

1

2

x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

=

3

2

，此时函数取最大值，故⑤错误
故答案为②③