设y=f（x）是定义在R上的函数，给定下列三个条件：（1）y=f（x）是偶函数；（2）y=f（x）的图象关于直线x=1对称；（3）T=2为y=f（x）的一个周期
题型：不详难度：来源：
设y=f（x）是定义在R上的函数，给定下列三个条件：
（1）y=f（x）是偶函数；
（2）y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
（3）T=2为y=f（x）的一个周期．
如果将上面（1）、（2）、（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有______个． |
答案
①先证明由（1）和（2）作为条件，可以得到（3）成立
∵y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（1-x）=f（1+x）
又∵y=f（x）是偶函数，可得f（1-x）=f（x-1）
∴f（x-1）=f（1+x），即f（x-1）=f[（x-1）+2]，函数y=f（x）是T=2的周期函数；
②再证明由（2）和（3）作为条件，可以得到（1）成立
∵y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（1-x）=f（1+x）
又∵T=2为y=f（x）的一个周期，可得f（1+x）=f[（x+1）-2]，
∴f（1-x）=f（x-1），可得f（1-x）=f[-（1-x）]，
以x代替1-x，得f（x）=f（-x），故函数y=f（x）是偶函数；
③最后证明由（1）和（3）作为条件，可以得到（1）成立
∵T=2为y=f（x）的一个周期，
∴f（1+x）=f[（x+1）-2]=f（x-1），
又∵y=f（x）是偶函数，可得f（x-1）=f（1-x），
∴函数y=f（x）满足f（1-x）=f（1+x），可得y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
综上所述，将上面（1）、（2）、（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，可以构成的三个真命题．
故答案为：3 |
举一反三
| 已知命题p：方程x2+4x+m-1=0有两个不等的负根；命题q：方程4x2+4x+m-2=0无实根．若p，q两命题一真一假，求m的取值范围． |
下面给出四个命题：
①直线l与平面a内两直线都垂直，则l⊥a；
②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
③圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥底面的半径；
④函数f（x）=2x-log2x的零点有1个；
⑤函数f（x）=x2+1，（x≤0）的反函数是f-1(x)=-，(x≥1)．
其中正确的命题序号是______． |
| 两个命题：①函数y=logax是减函数；②x的不等式ax2+1＞0的解集为R，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则a的取值范围______． |
| 已知a＞0，a≠1，设P：函数y=ax在R上单调递减；Q：函数y=x2+（2a-3）x+1的图象与x轴至少有一个交点．如果P与Q有且只有一个正确，求a的取值范围． |
| 设命题p：实数x满足x2-4x+3＜0，q：实数x满足，若p∧q为真，求实数x的取值范围． |
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