下列命题：（1）若函数f(x)=lg(x+x2+a)为奇函数，则a=1；（2）函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；（3）方程lgx=sinx

题型：不详难度：来源：

下列命题：
（1）若函数f(x)=lg(x+

x2+a

)为奇函数，则a=1；
（2）函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）方程lgx=sinx有且只有三个实数根；
（4）对于函数f(x)=

x

，若0＜x₁＜x₂，则f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
以上命题为真命题的是______．（将所有真命题的序号填在题中的横线上）

答案

（1）∵函数f(x)=lg(x+

x2+a

)为奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=lg(0+

0+a

)=lg

a

=0，
∴

a

=1，即a=1；
（2）∵f（x）=|1+sinx+cosx|=|1+

2

sin(x+

π

4

)|，
又由y=

2

sin(x+

π

4

)的周期是2π，将其函数图象上移一个单位后得到y=

2

sin(x+

π

4

)+1的图象，
然后再将X轴下方的图象沿X轴旋转180°，得到f（x）=1+

2

sin(x+

π

4

)|的图象，
∴函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）作出y=lgx与y=sinx的图象，由于y=lgx在（0，∞）上为增函数且l，g10=1，lg1=0，
故在区间（0，π）内y=lgx与y=sinx有一个交点，在（π，2π）内无交点，在（2π，3π）内有三个交点，
∴方程lgx=sinx有且只有三个实数根；
  


（4）∵函数f(x)=

x

是单调递增的凸函数，∴在0＜x₁＜x₂，则f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，
∴若0＜x₁＜x₂，则f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

是错误的；
故答案为（1）（2）（3）．