(1)证明:设m=1,则有=Tn-1•qn-1,∴=a1•qn-1 ∴an=a1•qn-1 ∴n≥2时,=q ∴数列{an}是等比数列; (2)当q=1时,an=a1,∴Tn=a1n,∴Tn•Tk=a1n+k=a12m=Tm2 当q≠1时,an=a1•qn-1,Tn=a1n•q ∴Tn•Tk=a1n•q•a1k•q=a1n+k•q ∵Tm2=a12m•qm(m-1),n+k=2m,k<m<n ∴a12m=a1n+k,=-m>()2-m=m2-m ∴q>1时,Tn•Tk>Tm2;q<1时,Tn•Tk<Tm2 (3)证明:由(1)知,充分性成立; 必要性:若数列{an}是公比为q(q>0)的等比数列,则an=a1•qn-1 ∴q≠1时,Tn=a1n•q ∴==a1n-mq Tn-m•q(n-m)m=a1n-m•q•q(n-m)m=a1n-mq ∴=Tn-m•q(n-m)m ∴对∀n,m∈N+,当n>m时,总有=Tn-m•q(n-m)m(q>0是常数) 同理可证,当q=1时,也成立 ∴命题p:“对∀n,m∈N+,当n>m时,总有=Tn-m•q(n-m)m(q>0是常数)”是命题t:“数列{an}是公比为q(q>0)的等比数列”的充要条件. |