求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0．
题型：不详难度：来源：
| 求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0． |
答案
证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”．
∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a•12+b•1+c=0，即a+b+c=0．
（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”．
把x=1代入方程的左边，得a•12+b•1+c=a+b+c．
∵a+b+c=0，
∴x=1是方程的根．
综合（1）（2）知命题成立． |
举一反三
| A：x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根；B：x1+x2=-，则A是B的______条件． |
| 如果a、b、c都是实数，那么P：ac＜0，是q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一个负根的______条件． |
| 已知“|x-1|≤1”是“＜0(a＞0)”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． |
| 当a＞0，b＞0时，用反证法证明≥，并指出等号成立的充要条件． |
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