例4．设x，y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0．
题型：不详难度：来源：
| 例4．设x，y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0． |
答案
证明：充分性：如果xy=0，那么，①x=0，y≠0②x≠0，y=0③x=0，y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立．
如果xy＞0即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0
当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|，
当x＜0，y＜0时，|x+y|=-x-y=（-x）+（-y）=|x|+|y|，
总之，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|．
必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x，y∈R
得（x+y）2=（|x|+|y|）2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2
得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立，
综上，原命题成立．
故结论成立． |
举一反三
| 设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的______． |
| 已知不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，求实数m的取值范围． |
| 已知x、y∈R，命题M：x2+y2＜4，命题N：xy+4＞2x+2y，则M是N的______条件． |
| 设命题α：1≤x＜4，命题β：x＜m；若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是______．（用区间表示） |
| “m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的______条件． |
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