例4.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

例4.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

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例4.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
答案
证明:充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0②x≠0,y=0③x=0,y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立.
如果xy>0即x>0,y>0或x<0,y<0
当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,
当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.
必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R
得(x+y)2=(|x|+|y|)2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2
得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立,
综上,原命题成立.
故结论成立.
举一反三
设0<x<
π
2
,则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的______.
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已知不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是
1
3
<x<
1
2
,求实数m的取值范围.
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已知x、y∈R,命题M:x2+y2<4,命题N:xy+4>2x+2y,则M是N的______条件.
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设命题α:1≤x<4,命题β:x<m;若α是β的充分条件,则实数m的取值范围是______.(用区间表示)
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“m>n>0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的______条件.
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