(1)设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件?(2)求使不等式4mx2-2mx-1<0恒成立的充要条件
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(1)设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件? (2)求使不等式4mx2-2mx-1<0恒成立的充要条件. |
答案
(1)x∈M或x∈P⇒x∈R,x∈(M∩P)⇔x∈(2,3), 因为x∈M或x∈P不能推出x∈(M∩P), 但x∈(M∩P)⇒x∈M或x∈P. 故“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件. (2)当m≠0时,不等式4mx2-2mx-1<0恒成立⇒⇔-4<m<0. 又当m=0时,不等式4mx2-2mx-1<0,对x∈R恒成立. 故使不等式4mx2-2mx-1<0恒成立的充要条件是-4<m≤0. |
举一反三
已知p:|x-4|≤6,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若¬p是¬q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围. |
有下列几个命题:①若与-都是非零向量,则“•=•”是“⊥(-)”的充要条件;②已知等腰△ABC的腰为底的2倍,则顶角A的正切值是;③在平面直角坐标系xoy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为(0,-1);④设,,为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足与不共线,⊥,||=||,则|•|的值一定等于以,为邻边的平行四边形的面积.其中正确命题的序号是______.(写出全部正确结论的序号) |
数列{an} 的通项公式为an=kn+b,(k,b为常数)是该数列为等差数列的______条件(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中的一个). |
(理科)关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是______. |
已知一元二次方程:(1)mx2-4x+4=0;(2)x2-4mx+4m2-4m-5=0(m∈Z),求方程(1)和(2)的根都是整数的充要条件. |
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