已知一元二次方程:(1)mx2-4x+4=0;(2)x2-4mx+4m2-4m-5=0(m∈Z),求方程(1)和(2)的根都是整数的充要条件.
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已知一元二次方程:(1)mx2-4x+4=0;(2)x2-4mx+4m2-4m-5=0(m∈Z),求方程(1)和(2)的根都是整数的充要条件. |
答案
方程(1)有实根⇔△1=16-16m≥0,即m≤1; 方程(2)有实根⇔△2=16m2-4(4m2-4m-5)≥0⇒m≥-, 由-≤m≤1且m∈Z得m=-1,0,1. 当m=-1时,方程(1)为x2+4x-4=0,无整数解; 当m=0 时,方程(2)为x2=5,无整数解; 当m=1时,方程(1)有整数解x=2,方程(2)有整数解x=-1或5, 从而(1)、(2)都有整数解⇒m=1. 反过来,由m=1,可推得方程(1)、(2)都有整数解, 所以方程(1)、(2)都有整数解的充要条件是m=1. |
举一反三
已知函数f(x)、g(x)定义在R上,h(x)=f(x)•g(x),则“f(x)、g(x)均为奇函数”是“h(x)为偶函数”的______条件. |
例4.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. |
设0<x<,则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的______. |
已知不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是<x<,求实数m的取值范围. |
已知x、y∈R,命题M:x2+y2<4,命题N:xy+4>2x+2y,则M是N的______条件. |
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