已知两函数f(x)=8x2+16x-m,g(x)=2x3+5x2+4x,(m∈R)若对∀x1∈[-3,3],∃x2∈[-3,3],恒有f(x1)>g(x2)成立
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已知两函数f(x)=8x2+16x-m,g(x)=2x3+5x2+4x,(m∈R)若对∀x1∈[-3,3],∃x2∈[-3,3],恒有f(x1)>g(x2)成立,求m的取值范围. |
答案
若对∀x1∈[-3,3],∃x2∈[-3,3],恒有f(x1)>g(x2)成立,只需在∈[-3,3]上f(x)min>g(x)min即可. f(x)=8x2+16x-m=8(x+1)2-m-8,f(x)min=f(-1)=-m-8 g(x)=2x3+5x2+4x,g′(x)=6x2+10x+4=(x+1)(6x+4), 在x∈(-3,-1)∪(-,3],g′(x)>0,(-3,-1)与(-,3]是g(x)单调递增区间.在x∈(-1,-),g′(x)<0,(-1,-,]是g(x)单调递减区间. g(x)的极小值为g(-)=- ,又g(-3)=-21,所以g(x)min=-21 所以-m-8>-21,解得m的范围为m<13. |
举一反三
命题p:∃x0∈R,x02+2x0+2≤0,则¬p为( )A.∃x0∈R,x02+2x0+2>0 | B.∃x0∉R,x02+2x0+2>0 | C.∀x∈R,x2+2x+2>0 | D.∀x∈R,x2+2x+2≤0 |
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“若a∉M或a∉P,则a∉(M∩P)”的逆否命题是______. |
不等式x2-x>x-a对∀x∈R都成立,则a的取值范围是______. |
下列存在性命题中,是真命题的是______. ①∃x∈R,x≤0; ②至少有一个整数,它既不是合数,也不是质数; ③∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数. |
已知命题p:∃n∈N,2n>1000,则¬p为______. |
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