已知a，b是非零向量，a与b的夹角为θ，当a+tb（t∈R）的模取得最小值时．（1）求t的值；（2）若a与b同向共线，求证：b⊥(a+tb)．

题型：不详难度：来源：

已知

a

，

b

是非零向量，

a

与

b

的夹角为θ，当

a

+t

b

（t∈R）的模取得最小值时．
（1）求t的值；
（2）若

a

与

b

同向共线，求证：

b

⊥(

a

+t

b

)．

答案

（1）∵|

a

+t

b

|=

( a +t b )2

=

a 2+2t a • b +t2 b 2

=

a 2+2t| a || b |cosθ+ b 2

t²
=

b 2(t+ | a | | b | cosθ)2+| a |sin2θ

根据二次函数的知识可得，当t=-

| a |

| b |

cosθ=-

| a || b |

| b |2

cosθ=

a • b

| b |2

×（-1）时，|

a

+t

b

|取得最小值．
（2）证明：

b

•(

a

+t

b

)=

b

•(

a

-

a • b

| b |2

•

b

)=

b

•

a

-

a • b

| b |2

•

b

2=

a

•

b

-

a

•

b

=0
∴

b

⊥(

a

+t

b

)．