已知|a|=1，a•b=12，（a-b）•（a+b）=12，求：（1）a与b的夹角；（2）a-b与a+b的夹角的余弦值．

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已知|a|=1，a•b=12，（a-b）•（a+b）=12，求：（1）a与b的夹角；（2）a-b与a+b的夹角的余弦值．

题型：不详难度：来源：
已知|


a
|=1，


a
•


b
=
1
2
，（


a
-


b
）•（


a
+


b
）=
1
2
，求：
（1）


a
与


b
的夹角；
（2）


a
-


b
与


a
+


b
的夹角的余弦值．
答案
（1）∵（


a
-


b
）•（


a
+


b
）=
1
2
，∴


a
2-


b
2=
1
2
．
又∵|


a
|=1，∴12-|


b
|2=
1
2
，解得|


b
|=


2
2
．
∵


a
•


b
=
1
2
，
∴cos＜


a
，


b
＞=


a
•


b
|


a
||


b
|
=
1
2
1×


2
2
=


2
2
，
∴


a
与


b
的夹角为
π
4
；
（2）由（1）可得|


a
-


b
|=




a
2+


b
2-2


a
•


b
=


12+(


2
2
)2-2×
1
2
=


2
2
，
|


a
+


b
|=




a
2+


b
2+2


a
•


b
=


12+(


2
2
)2+2×
1
2
=


10
2
．
∴cos＜


a
-


b
，


a
+


b
＞=
(


a
-


b
)•(


a
+


b
)
|


a
-


b
||


a
+


b
|
=
1
2


2
2
×


10
2
=


5
5
．
∴


a
-


b
与


a
+


b
的夹角的余弦值为


5
5
．
举一反三
已知向量


a
=（cosωx，sinωx），


b
=（cosωx，


3
cosωx），其中（0＜ω＜2）．函数，f(x)=


a
•


b
-
1
2
其图象的一条对称轴为x=
π
6
．
（I）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若f(
A
2
)=1，b=l，S△ABC=


3
，求a的值．
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已知


a
=(-5，2)，


b
=(0，-3)，则


a
-


b
与


b
的夹角为（　　）
A．
π
4
B．
π
3
C．
2π
3
D．
3π
4
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若平面向量


a
=（-1，2）与向量


b
的夹角是180°，且|


b
|=3


5
，则


b
的坐标是（　　）
A．（3，-6）B．（-6，3）C．（6，-3）D．（-3，6）
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已知向量


a
=（cosα，sinα），


b
=（cosβ，sinβ），若|


a
-


b
|=


2
，则


a
和


b
的夹角为（　　）
A．60°B．90°C．120°D．150°
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已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足


PA
•


PB
=y2-8．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹与直线y=x+b交于C、D两点，且OC⊥OD（O为原点），求b的值．
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