已知向量a=(cosωx,sinωx),b=(cosωx,3cosωx),其中(0<ω<2).函数,f(x)=a•b-12其图象的一条对称轴为x=π6.(I)求

已知向量a=(cosωx,sinωx),b=(cosωx,3cosωx),其中(0<ω<2).函数,f(x)=a•b-12其图象的一条对称轴为x=π6.(I)求

题型:不详难度:来源:
已知向量


a
=(cosωx,sinωx),


b
=(cosωx,


3
cosωx),其中(0<ω<2).函数,f(x)=


a


b
-
1
2
其图象的一条对称轴为x=
π
6

(I)求函数f(x)的表达式及单调递增区间;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,S为其面积,若f(
A
2
)
=1,b=l,S△ABC=


3
,求a的值.
答案
(I))f(x)=


a


b
-
1
2
=cos2ωx+


3
sinωxcosωx-
1
2

=
1+cos2ωx
2
+


3
2
sin2ωx-
1
2

=sin(2ωx+
π
6
)

当x=
π
6
时,sin(
ωπ
3
+
π
6
)=±1
ωπ
3
+
π
6
=kπ+
π
2

∵0<ω<2∴ω=1
f(x)=sin(2x+
π
6
)

-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
π
2
+2kπ
解得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6

所以f(x)d的递增区间为[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
](k∈Z)

(II)f(
A
2
)=sin(A+
π
6
)=1

在△ABC中,0<A<π,
π
6
<A+
π
6
6

∴A+
π
6
=
π
2

∴A=
π
3

由S△ABC=
1
2
bcsinA=


3
,b=1得c=4
由余弦定理得a2=42+12-2×4×1cos60°=13
故a=


13
举一反三
已知


a
=(-5,2)


b
=(0,-3)
,则


a
-


b


b
的夹角为(  )
A.
π
4
B.
π
3
C.
3
D.
4
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若平面向量


a
=(-1,2)与向量


b
的夹角是180°,且|


b
|=3


5
,则


b
的坐标是(  )
A.(3,-6)B.(-6,3)C.(6,-3)D.(-3,6)
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已知向量


a
=(cosα,sinα),


b
=(cosβ,sinβ),若|


a
-


b
|=


2
,则


a


b
的夹角为(  )
A.60°B.90°C.120°D.150°
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已知点A(0,-2),B(0,4),动点P(x,y)满足


PA


PB
=y2-8.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设(1)中所求轨迹与直线y=x+b交于C、D两点,且OC⊥OD(O为原点),求b的值.
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已知


a


b
均为单位向量,且|


a
+2


b
|=


7
,那么向量


a


b
的夹角为(  )
A.
π
6
B.
π
3
C.
6
D.
3
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