已知OA=（1，7），OB=（3，1），D为线段AB的中点，设M为线段OD上的任意一点，（O为坐标原点），求MA•MB的取值范围．

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已知OA=（1，7），OB=（3，1），D为线段AB的中点，设M为线段OD上的任意一点，（O为坐标原点），求MA•MB的取值范围．

题型：不详难度：来源：
已知


OA
=（1，7），


OB
=（3，1），D为线段AB的中点，设M为线段OD上的任意一点，（O为坐标原点），求


MA
•


MB
的取值范围．
答案
∵已知


OA
=（1，7），


OB
=（3，1），D为线段AB的中点，∴


OD
=
1
2
（


OA
+


OB
）=（2，4）．
由于M为线段OD上的任意一点，（O为坐标原点），可设


OM
=λ


OD
=（2λ，4λ），且0≤λ≤1，
故


MA
•


MB
=（


OA
-


OM
）•（


OB
-


OM
）=（1-2λ，7-4λ）•（3-2λ，1-4λ）=（1-2λ）（3-2λ）
+（7-4λ）（1-4λ）=10（2λ2-4λ+1），
由二次函数的性质可得，当λ=1时，函数


MA
•


MB
取得最小值为-10，而且函数无最大值，
故


MA
•


MB
的取值范围为[10，+∞）．
举一反三
已知：|
.
a
|=1，|
.
b
|=2，＜


a
，


b
＞=60°，则|


a
+


b
|=______．
题型：不详难度：| 查看答案
若平面向量


a
与


b
的夹角为120°，


a
=(2，0)，|


b
|=1，则|


a
+2


b
|=______．
题型：不详难度：| 查看答案
已知在平面直角坐标系xoy中，向量


j
=(0，1)，△OFP的面积为2


3
，且


OF
•


FP
=t，


OM
=


3
3


OP
+


j
．
（I）设4＜t＜4


3
，求向量


OF
与


FP
的夹角θ的取值范围；
（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且|


OF
|=c，t=(


3
-1)c2，当|


OP
|取最小值时，求椭圆的方程．
题型：江门模拟难度：| 查看答案
已知平面向量


a
，


b
，
（Ⅰ）若|


a
|=1，|


b
|=2，|


a
-


b
|=2，求|


a
+


b
|的值；
（Ⅱ）若


a
=(1，3)，


b
=(-2，m)，


a
⊥(


a
+2


b
)，求m的值．
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已知向量


a
=（2，l），


a
•


b
=10，|


a
+


b
|=5


2
，则|


b
|=______．
题型：宜宾一模难度：| 查看答案
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